Правило IV. Если система 𝑞 одновременно взаимодействует с двумя внешними системами 𝐴 и 𝐵 и если системы 𝐴 и 𝐵 непосредственно не взаимодействуют между собой, а их начальные состояния никак не связаны, то
𝐹
=
𝐹
𝐴
⋅
𝐹
𝐵
,
(12.93)
где 𝐹𝐴 функционал влияния для случая, когда с 𝑞 взаимодействовала бы только одна система 𝐴, и 𝐹𝐴 — такой же функционал для системы 𝐵.
Правило V. Если функционал 𝐹 можно с достаточной точностью аппроксимировать выражением
𝐹
=
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
∫
[𝑞(𝑡)-𝑞'(𝑡)]
𝑉(𝑡)
𝑑(𝑡)
⎫
⎬
⎭
,
(12.94)
то система ведёт себя так же, как под влиянием классического потенциала 𝑉(𝑡), который вносит в действие вклад ∫𝑞(𝑡)𝑉(𝑡)𝑑(𝑡). Если же функционал имеет вид 𝐹(𝑞,𝑞')=Φ[𝑞(𝑡)-𝑞'(𝑡)], где Φ[𝑘(𝑡)] — функционал произвольной формы, то окружение эквивалентно классическому случаю, однако с неопределённым потенциалом 𝑉(𝑡) [в этом случае Φ — характеристический функционал для распределения 𝑉(𝑡)].
Справедливость правила I очевидна непосредственно из выражения (12.90). Это же выражение объясняет также правило II, однако гораздо менее наглядным образом. Отметим, что для произвольной системы с некоторым определённым действием 𝑆𝑎(𝑄) при любом заданном начальном состоянии
∑
𝑓
∬
exp(𝑖{
𝑆
𝑎
[𝑄(𝑡)]
-
𝑆
𝑎
[𝑄'(𝑡)]
})
𝒟𝑄(𝑡)
𝒟𝑄'(𝑡)
=1
.
(12.95)
Это следует из того, что интегралы и сумма по конечным состояниям
∑
𝑓
эквивалентны соотношению
∫
𝐾(𝑄
𝑓
,𝑡
𝑓
;𝑄
𝑖
,𝑡
𝑖
)
𝐾*(𝑄
𝑓
,𝑡
𝑓
;𝑄'
𝑖
,𝑡
𝑖
)
𝒟𝑄
𝑓
=
δ(𝑄
𝑖
-𝑄'
𝑖
)
(12.96)
[см. формулу (4.37)]. Таким образом, если бы начальная волновая функция была φ(𝑄𝑖), то, умножая, как это делалось в выражении (12.79), на φ(𝑄𝑖)φ*(𝑄𝑖) и интегрируя, мы получили бы
∫
φ(𝑄
𝑖
)φ*(𝑄
𝑖
)
δ(𝑄
𝑖
-𝑄'
𝑖
)
𝑑𝑄
𝑖
𝑑𝑄'
𝑖
=
∫
|φ(𝑄)|²
𝑑𝑄
=1
.
(12.97)
Заметим теперь, что если в выражении (12.90) мы положим 𝑞'(𝑡)=𝑞(𝑡) для любого заданного 𝑞(𝑡) и всех значений 𝑡, то получим выражение, в точности совпадающее с равенством (12.95), где полное суммарное действие равно
𝑆
𝑎
[𝑄(𝑡)]
=
𝑆
0
[𝑄(𝑡)]
+
𝑆
𝑖
[𝑞(𝑡),𝑄(𝑡)]
причём
𝑆
𝑎
[𝑄'(𝑡)]
=
𝑆
0
[𝑄'(𝑡)]
+
𝑆
𝑖
[𝑞(𝑡),𝑄'(𝑡)]
что и требуется, пока 𝑞'(𝑡)=𝑞(𝑡). Следовательно,
𝐹[𝑞(𝑡),𝑞(𝑡)]
=1
.
Те же рассуждения, если их провести применительно к интервалу времени 𝑎≤𝑡≤𝑡𝑓 и использовать соотношение, сходное с (12.96), но где 𝑡𝑓, 𝑄𝑓 заменены соответственно на 𝑎 и 𝑄𝑎, показывают, что если 𝑞(𝑡)=𝑞'(𝑡) для 𝑡>𝑎, то зависимость 𝐹 от 𝑞(𝑡) при 𝑡>𝑎 исчезает, так как правая сторона (12.96) при 𝑡>𝑎 а не зависит от 𝑞(𝑡).
Правило III с очевидностью следует из того, что вероятности определяются суммированием всех возможных значений 𝐽
Правило IV вытекает из выражения (12.90), если в соответствии с условием действие в выражении (12.90) имеет вид
𝑆
0𝐴
[𝑄
𝐴
(𝑡)]
+
𝑆
𝑖𝐴
[𝑞(𝑡),𝑄
𝐴
(𝑡)]
+
𝑆
0𝐵
[𝑄
𝐵
(𝑡)]
+
𝑆
𝑖𝐵
[𝑞(𝑡),𝑄
𝐵
(𝑡)]
.
При этом экспоненциальная функция суммы превращается в произведение, дающее интегралы 𝐹, если начальное состояние само представляется произведением волновых функций.
Правило V — это просто формулировка наших результатов, приведённых в соотношениях (12.82) и (12.85).
Мы рассмотрели некоторые общие свойства функционалов влияния. Связанные с ними расчёты используют различные методы вычисления интегралов по траекториям (12.89). Закончим этот параграф рассмотрением некоторых важных функционалов влияния.
Подобно тому, насколько простыми и важными оказываются гауссово распределение вероятности и гауссово распределение шума, настолько важны и функционалы влияния, содержащие координаты 𝑞(𝑡), 𝑞'(𝑡) в виде квадратичных форм в экспонентах; назовём их гауссовыми функционалами влияния.
Во-первых, если среда представляет собой систему гармонических осцилляторов в основном состоянии (или при заданной температуре), линейно связанных с рассматриваемой системой 𝑞, то вычисление выражения (12.90) показывает, что 𝐹 — гауссов функционал. Однако гауссовы функционалы влияния (подобно гауссовым вероятностям), дают хорошее приближение для гораздо более широкого класса задач, в которых эффект является суммарным результатом большого числа малых воздействий. Рассмотрим, например, атом, слабо взаимодействующий с большим числом атомов окружающего газа. Влияние каждого атома 𝐴 очень мало, так что его функционал влияния 𝐹𝐴 немногим отличается от единицы. Однако, согласно правилу IV, полный функционал 𝐹 является произведением многих таких множителей и его можно аппроксимировать экспоненциальной функцией суммы всех малых вкладов. Разложение этого вклада с точностью до величины первого и второго порядков малости относительно взаимодействия с отдельным атомом приводит к функционалу влияния гауссова типа.
Как иллюстрацию этого заключения, рассмотрим влияние металлического образца, находящегося в объёмном резонаторе. Это влияние можно просто, в линейной форме, выразить одной функцией импеданса, несмотря на всю сложность поведения электронов в металле. Функционал влияния металла 𝑄 на объёмный резонатор 𝑞 близок к гауссову, и в этом смысле металл эквивалентен некоторой системе гармонических осцилляторов, которая приводила бы к тому же самому функционалу влияния.
Наиболее общий экспоненциальный функционал с линейной зависимостью от координат 𝑞(𝑡) и 𝑞'(𝑡) имеет вид
𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)]
=
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
∫
𝑞(𝑡)
𝑉(𝑡)
𝑑𝑡
-
𝑖
∫
𝑞'(𝑡)
𝑈(𝑡)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
,
(12.98)
где 𝑉(𝑡) и 𝑈(𝑡) — произвольные комплексные функции. Однако, чтобы оказаться функционалом влияния, он должен удовлетворять пяти перечисленным правилам. Правило I требует, чтобы 𝑈(𝑡)=𝑉*(𝑡), а из правила II следует 𝑈(𝑡)=𝑉(𝑡), поэтому 𝑈 и 𝑉 должны быть равными и действительными величинами. Таким образом, согласно правилу V, самый общий линейный функционал эквивалентен действию классического внешнего потенциала.
