=
∬
exp(𝑖{
𝑆[𝑞(𝑡)]
-
𝑆[𝑞'(𝑡)]
})
×
×
exp
⎧
⎨
⎩
-
1
2
∬
[𝑞(𝑡)-𝑞'(𝑡)]
[𝑞(𝑡')-𝑞'(𝑡')]
𝐴(𝑡,𝑡')
𝑑𝑡
𝑑𝑡'
⎫
⎬
⎭
×
𝒟𝑞(𝑡)
𝒟𝑞'(𝑡)
.
(12.87)
Так как во всяком случае либо новый множитель содержит 𝑞, либо 𝑞' входят в новый экспоненциальный множитель только квадратично, то могут быть полезны некоторые методы, обсуждавшиеся ранее для квадратичных форм. Конечно, если действие 𝑆(𝑞) само квадратично, как в случае гармонического осциллятора, то интегралы по траекториям можно вычислить точно, используя методы § 5 гл. 3.
§ 8. Функционалы влияния
Рассмотрим теперь поведение квантовомеханической системы, обобщённую координату которой мы будем обозначать через 𝑞 во взаимодействии с другой системой, характеризуемой обобщённой координатой 𝑄 1). Допустим, что все предполагаемые измерения должны проводиться в системе 𝑞 и никакие прямые измерения не будут сделаны в системе 𝑄. Например, мы интересуемся переходами в атоме, который находится в электромагнитном поле и может излучать. Тогда исследуем только состояние атома и не будем непосредственно измерять его излучение; в этом случае 𝑞 — атомные координаты, a 𝑄 — координаты поля. Если же мы проводим исследование иначе, т.е. наблюдаем только излучение атома, испускаемое, поглощаемое или рассеиваемое, но не измеряем никаких величин, непосредственно описывающих атом, то можно опираться на наш предыдущий анализ, причём теперь 𝑄 — атомные координаты, a 𝑞 — координаты электромагнитного поля. Если, например, нам хочется рассмотреть теорию коэффициента преломления, то 𝑞 — снова переменные поля, а переменные 𝑄 описывают тело, через которое проходит свет. В качестве ещё одного примера предположим, что нужно исследовать поведение электрона в кристалле (или иона в жидкости), причём экспериментальные данные относятся только к положению заряда, но не к материалу кристалла. Например, можно было бы интересоваться током (или скоростью электронов), возникающим при определённых условиях, и не рассматривать его связи с числом индуцированных фононов. Тогда переменные 𝑞 будут описывать электрон, а переменные 𝑄 — все другие параметры вещества в кристалле.
1) 𝑄 обозначает любое число координат. Эта система может быть и, вообще говоря, является очень сложной. Мы будем оперировать с одной переменной 𝑄, но это не ограничивает общности рассуждений.
Пусть 𝑆[𝑞(𝑡)] — действие для системы 𝑞, 𝑆0[𝑄(𝑡)] — действие для окружающей среды, a 𝑆взаим[𝑞(𝑡),𝑄(𝑡)] описывает взаимодействие между средой 𝑄 и системой 𝑞. Действие для всей системы равно сумме 𝑆[𝑞(𝑡)] + 𝑆0[𝑄(𝑡)] + 𝑆взаим[𝑞(𝑡),𝑄(𝑡)] а вероятность какого-либо события в такой сложной системе можно вычислить из двойного интеграла по траекториям, являющегося, очевидно, обобщением выражения (12.81), которое теперь запишется в виде
𝐽
=
∬
exp(𝑖{
𝑆[𝑞(𝑡)]
-
𝑆[𝑞'(𝑡)]
+
𝑆
взаим
[𝑞(𝑡),𝑄(𝑡)]
-
-
𝑆
взаим
[𝑞'(𝑡),𝑄'(𝑡)]
+
𝑆
0
[𝑄(𝑡)]
-
𝑆
0
[𝑄'(𝑡)]
})
×
×
𝒟𝑞(𝑡)
𝒟𝑄(𝑡)
𝒟𝑞'(𝑡)
𝒟𝑄'(𝑡)
.
(12.88)
Однако если нам не нужно измерять 𝑄(𝑡), а достаточно исследовать лишь зависимость от 𝑞(𝑡), то ответ запишется в форме
𝐽
=
∬
exp(𝑖{
𝑆[𝑞(𝑡)]
-
𝑆[𝑞'(𝑡)]
})
𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)]
𝒟𝑞(𝑡)
𝒟𝑞'(𝑡)
,
(12.89)
где функционал 𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)] мы назовём функционалом влияния. Этот функционал зависит от двух функций 𝑞(𝑡) и 𝑞'(𝑡) и для рассматриваемой частной задачи выражается в виде
𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)]
=
∑
𝑓
∬
exp(𝑖{
𝑆[𝑄(𝑡)]
-
𝑆[𝑄'(𝑡)]
+
+
𝑆
взаим
[𝑞(𝑡),𝑄(𝑡)]
-
𝑆
взаим
[𝑞'(𝑡),𝑄'(𝑡)]
})
𝒟𝑄(𝑡)
𝒟𝑄'(𝑡)
.
(12.90)
Сумма по 𝑓 означает, что мы должны взять сумму по всем возможным конечным состояниям 𝑄. Это связано с тем, что не проводится никаких измерений координат 𝑄 и возможны все конечные состояния среды. Поэтому нужно сложить вероятности всех возможных процессов [т.е. все функции (12.88)]. Например, в координатном представлении
∑
𝑓
как раз подразумевает, что, начиная с некоторого момента времени 𝑡𝑓, взаимодействие для нас больше не представляет интереса; мы должны взять 𝑄(𝑡𝑓) = 𝑄'(𝑡𝑓) = 𝑄𝑓 и проинтегрировать по всем 𝑄𝑓
Резюмируя, скажем, что поведение системы в любой среде можно описать с помощью двойных интегралов по траекториям, аналогичных интегралу (12.89), где функционал 𝐹 отражает свойства среды — её влияние на систему — и учитывает все связанные с этим изменения 𝑞(𝑡). Две различные окружающие среды 𝐴 и 𝐵, совершенно различные по своему физическому строению, тем не менее могут оказаться неразличимы по поведению системы 𝑞, если с ними связан один и тот же функционал влияния 𝐹. Функционал 𝐹 — это нечто аналогичное внешним «силам», которые вводятся при классическом рассмотрении поведения одной из взаимодействующих систем. Мы можем изучать лишь движение системы 𝑞, при условии что знаем зависимость от времени сил, действующих на неё со стороны среды. Ньютоновские уравнения движения для 𝑞 представляют собой грубую аналогию выражения (12.89), тогда как выражение (12.90) соответствует учёту сил, обусловленных средой. Две различные среды эквивалентны, если они одинаково действуют на 𝑞. Естественно, это — очень грубая аналогия. Что касается функционалa 𝐹, то он описывает полное влияние среды, включая изменения в поведении самой среды из-за реакции со стороны 𝑞. Это аналогично тому, как если бы при классическом рассмотрении нам были бы известны не только сами силы, но и их изменение во времени при любом возможном движении исследуемой системы 𝑞(𝑡). Силы воздействия среды, вообще говоря, зависят от движения 𝑞(𝑡), так как сама среда подвергается влиянию со стороны интересующей нас системы 𝑞.
Таким образом, мы приходим к необходимости изучить свойства функционалов влияния. Составим список нескольких правил, определяющих такие свойства, и сформулируем некоторые допущения, при которых они получаются.
Правило I.
𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)]*
=
𝐹[𝑞'(𝑡),𝑞(𝑡)]
,
(12.91)
где значком * отмечено комплексное сопряжение.
Правило II. Если функции 𝑞(𝑡) и 𝑞'(𝑡) выбраны равными для всех 𝑡, больших любого 𝑎, то 𝐹 не зависит от фактических значений 𝑞(𝑡) для 𝑡>𝑎.
Правило III. Если 𝐹𝑖 — функционал влияния для определённой среды 𝑖 и мы фактически не знаем реального окружения системы, а знаем лишь, что вероятность найти систему в среде 𝑖 равна ω𝑖, то эффективный функционал влияния (для расчёта всех вероятностей)
𝐹
=
∑
𝑖
ω
𝑖
𝐹
𝑖
.
(12.92)
