Прежде всего обсудим аналогию броуновского движения для квантовомеханической системы, т.е. предположим, что квантовая система, которой соответствует невозмущённое действие 𝑆(𝑞), испытывает влияние внешнего потенциала 𝑉(𝑡) и при этом действие 𝑆 становится равным *)
𝑆
𝑣
(𝑞)
=
𝑆(𝑞)
+
∫
𝑞(𝑡)
𝑉(𝑡)
𝑑𝑡
.
(12.78)
*) Все операции мы проделаем так, как если бы аргументом была только одна координата 𝑞. Читатель может непосредственно получить обобщение на случай нескольких координат 𝑞𝑖 (при этом 𝑉 заменяется набором потенциалов 𝑉𝑖) и на случай, когда коэффициент при 𝑉(𝑡) в действии 𝑆𝑉 не равен просто 𝑞, а является более сложным оператором.
Допустим, что нас интересует вопрос: какова вероятность того, что, отправившись в начальный момент времени 𝑡𝑖 из точки 𝑞(𝑡𝑖)=𝑞𝑖, мы достигнем в конечный момент 𝑡𝑓 положения 𝑞𝑓? Эта вероятность определяется квадратом амплитуды |𝐾(𝑞𝑓,𝑡𝑓;𝑞𝑖,𝑡𝑖)|². Если начальное состояние системы задаётся волновой функцией φ(𝑞), а конечное — волновой функцией χ(𝑞), то вероятность перехода между этими состояниями
𝑃[χ(𝑞);φ(𝑞)]
=
⎪
⎪
⎪
∬
χ*(𝑞
𝑓
)
𝐾(𝑞
𝑓
,𝑡
𝑓
;𝑞
𝑖
,𝑡
𝑖
)
φ(𝑞
𝑖
)
𝑑𝑞
𝑓
𝑑𝑞
𝑖
⎪²
⎪
⎪
=
=
∬
∬
χ*(𝑞
𝑓
)
χ(𝑞'
𝑓
)
𝐾(𝑞
𝑓
,𝑡
𝑓
;𝑞
𝑖
,𝑡
𝑖
)
𝐾*(𝑞'
𝑓
,𝑡
𝑓
;𝑞'
𝑖
,𝑡
𝑖
)
×
×
φ(𝑞
𝑖
)
φ*(𝑞'
𝑖
)
𝑑𝑞
𝑖
𝑑𝑞'
𝑖
𝑑𝑞
𝑓
𝑑𝑞'
𝑓
.
(12.79)
Очевидно, что все подобные задачи могут быть решены, если вычислить произведение
𝐾(𝑞
𝑓
,𝑡
𝑓
;𝑞
𝑖
,𝑡
𝑖
)
𝐾*(𝑞'
𝑓
,𝑡
𝑓
;𝑞'
𝑖
,𝑡
𝑖
)
(12.80)
Здесь первый множитель содержит интеграл по траекториям ∫exp{𝑖𝑆[𝑞(𝑡)]}𝒟𝑞(𝑡), тогда как второй, комплексно-сопряженный *), включает ∫exp{-𝑖𝑆[𝑞(𝑡)]}𝒟𝑞(𝑡). Каждый из интегралов взят по траекториям с заданными конечными точками. Во втором интеграле выражения (12.80) обозначим переменную интегрирования по траектории через 𝑞'(𝑡). При этом произведение (12.80) можно выразить как двойной интеграл по траекториям:
∬
𝑒
𝑖𝑆[𝑞(𝑡)]-𝑖𝑆[𝑞'(𝑡)]
𝒟𝑞(𝑡)
𝒟𝑞'(𝑡)
.
(12.81)
*)Как и в гл. 11, предполагаем, что ℏ=1, a 𝑆[𝑞(𝑡)] — действительная величина.
Суммирование таких интегралов по различным конечным точкам даст искомую вероятность.
Если потенциал 𝑉 отличен от нуля, то мы должны 𝑆 в выражении (12.81) заменить на 𝑆𝑉. При этом получим
∬
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖
⎧
⎨
⎩
𝑆[𝑞(𝑡)]
-
𝑆[𝑞'(𝑡)]
+
∫
𝑞(𝑡)
𝑉(𝑡)
𝑑𝑡
-
-
∫
𝑞'(𝑡)
𝑉(𝑡)
𝑑𝑡
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝒟𝑞(𝑡)
𝒟𝑞'(𝑡)
.
(12.82)
Предположим теперь, что потенциал известен только в вероятностном смысле, т.е. задана вероятность 𝑃𝑉[𝑉(𝑡)]𝒟𝑉(𝑡) того, что потенциал равен 𝑉(𝑡). Тогда для того, чтобы получить вероятность перехода между состояниями φ и χ нужно взять выражение (12.79), рассчитанное для данного 𝑉(𝑡), и усреднить его по всем 𝑉(𝑡) с весом 𝑃𝑉[𝑉(𝑡)]𝒟𝑉(𝑡). Это даст
вероятность (φ→χ)
=
=
∬
∬
χ*(𝑞
𝑓
)
χ(𝑞'
𝑓
)
𝐽(𝑞
𝑓
,𝑞'
𝑓
;𝑞
𝑖
,𝑞'
𝑖
)
φ(𝑞
𝑖
)
φ*(𝑞'
𝑖
)
𝑑𝑞
𝑖
𝑑𝑞'
𝑖
𝑑𝑞
𝑓
𝑑𝑞'
𝑓
.
(12.83)
где 𝐽 — среднее от выражения (12.82) по всем 𝑉(𝑡) с весом 𝑃𝑉[𝑉(𝑡)]𝒟𝑉(𝑡); таким образом,
𝐽
=
∭
exp(𝑖{
𝑆[𝑞(𝑡)]
-
𝑆[𝑞'(𝑡)]
})
×
×
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖
∫
[𝑞(𝑡)-𝑞'(𝑡)]
𝑉(𝑡)
𝑑𝑡
⎫
⎪
⎭
𝑃
𝑉
[𝑉(𝑡)]
𝒟𝑞(𝑡)
𝒟𝑞'(𝑡)
𝒟𝑉(𝑡)
,
(12.84)
где интегралы берутся между заданными конечными точками 𝑞(𝑡𝑖)=𝑞𝑖, 𝑞'(𝑡𝑖)=𝑞'𝑖, 𝑞(𝑡𝑓)=𝑞𝑓, 𝑞'(𝑡𝑓)=𝑞'𝑓. Заметим, что выбор граничных точек и интегрирование по различным переменным с учётом распределения волновых функций, зависящего от вида задачи [как в выражении (12.83)], даёт только сумму 𝐽 для разных граничных условий. Здесь и дальше мы будем рассуждать таким образом, будто уже само 𝐽 даёт нам искомую вероятность, причём читателю не следует забывать, что эту работу ещё нужно выполнить. А теперь можно сконцентрироваться на главном — вычислении двойных интегралов по траекториям, необходимых для расчёта 𝐽.
Интеграл по 𝑉(𝑡) в формуле (12.84) можно получить явно. Видно, что для нахождения вероятностей после усреднения надо вычислить двойной интеграл:
𝐽
=
∬
exp(𝑖{
𝑆[𝑞(𝑡)]
-
𝑆[𝑞'(𝑡)]
})
Φ
[𝑞(𝑡)-𝑞'(𝑡)]
𝒟𝑞(𝑡)
𝒟𝑞'(𝑡)
,
(12.85)
где Φ[𝑘(𝑡)] — производящий функционал, принадлежащий распределению вероятностей 𝑃𝑉, так что
Φ[𝑘(𝑡)]
∫
𝑒
𝑖∫𝑘(𝑡)𝑉(𝑡)𝑑𝑡
𝑃
𝑉
[𝑉(𝑡)]
𝒟𝑉(𝑡)
.
(12.86)
Выражение (12.85) соответствует нашему стремлению выразить ответ в форме, справедливой и после усреднения. В него входит вычисление двойного интеграла по траекториям. Как его вычислить практически,— другой вопрос. В этих параграфах мы рассматриваем лишь возможную постановку различных задач; методы, обсуждаемые здесь, могут оказаться полезными в приложениях.
В качестве примера применения выражения (12.85) предположим, что 𝑉(𝑡) — гауссов шум с нулевым средним значением и характеристической функцией 𝐴(𝑡,𝑡'), как в выражении (12.46). Нужно вычислить двойной интеграл:
𝐽
