⎪
⎩
-μ
∫
{1-𝑊[𝑘(𝑠)]}
𝑑𝑠
⎫
⎪
⎭
,
(12.66)
где
𝑊[ω]
=
∫
𝑝(
Δ
)
𝑒
𝑖ωΔ
𝑑
Δ
.
(12.67)
Заметим, что среднее значение углового отклонения Δ считается равным нулю, а сами эти отклонения предполагаются малыми. Если теперь разложить 𝐺(ω), так что
𝑊[ω]
=
∫
𝑝(
Δ
)
⎧
⎪
⎩
1+𝑖ω
Δ
-
ω²
2
Δ
²
+…
⎫
⎪
⎭
𝑑
Δ
,
(12.68)
и ограничиться только членами не выше второго порядка по Δ, т.е. положить 𝑊[ω]=1-ω²σ²/2, то функционал (12.66) будет иметь вид
Φ
=
exp
⎧
⎨
⎩
-
1
2
𝑅
∫
[𝑘(𝑠)]²
𝑑𝑠
⎫
⎬
⎭
.
(12.69)
А это в свою очередь означает, что
𝑃
𝑓
[𝑓(𝑡)]
=
exp
⎧
⎨
⎩
-
1
2𝑅
∫
[𝑓(𝑡)]²
𝑑𝑡
⎫
⎬
⎭
(12.70)
и, следовательно,
𝑃
𝑥
[𝑥(𝑡)]
=
const⋅exp
⎧
⎨
⎩
-
1
2𝑅
𝑇
∫
0
[𝑥̈(𝑡)]²
𝑑𝑡
⎫
⎬
⎭
(12.71)
Мы должны вычислить распределение 𝑃(𝐷,θ), определяющее вероятность того, что частица будет выходить из пластины под углом θ и смещением 𝐷, если при входе в пластину она имела 𝑥(0)=0 и 𝑥̇(0)=0. Нас интересует не точная траектория частицы в веществе, а только условия выхода 𝑥(𝑇)=𝐷 и 𝑥̇(𝑇)=θ. Поэтому выразим искомое распределение в виде интеграла по всем траекториям:
𝑃(𝐷,θ)
=
∫
exp
⎧
⎪
⎩
-
1
2𝑅
𝑇
∫
0
𝑥̈²
𝑑𝑡
⎫
⎪
⎭
𝒟𝑥(𝑡)
,
(12.72)
где все траектории, по которым берётся интеграл, удовлетворяют предполагаемым граничным условиям. Этот интеграл гауссовой формы можно вычислить методами, развитыми в § 5 гл. 3. Он имеет экстремум для траектории
....
𝑥
(𝑡)
=
0
.
(12.73)
Решение этого уравнения, удовлетворяющее нашим граничным условиям, имеет вид
𝑥(𝑡)
=
(3𝐷-θ𝑇)
⎧
⎪
⎩
𝑡
𝑇
⎫²
⎪
⎭
+
(θ𝑇-2𝐷)
⎧
⎪
⎩
𝑡
𝑇
⎫³
⎪
⎭
.
(12.74)
Подставив его в показатель экспоненты в (12.72), получим
1
2𝑅
𝑇
∫
0
𝑥̈²
𝑑𝑡
=
6
𝑅𝑇³
⎧
⎪
⎩
𝐷
-
θ𝑇
2
⎫²
⎪
⎭
+
θ²
2𝑅𝑇
.
(12.75)
Отсюда следует искомое распределение
𝑃(𝐷,θ)
=
const⋅exp
⎡
⎢
⎣
-
6
𝑅𝑇³
⎧
⎪
⎩
𝐷
-
θ𝑇
2
⎫²
⎪
⎭
+
θ²
2𝑅𝑇
⎤
⎥
⎦
.
(12.76)
На практике в некоторых случаях для нас может представлять интерес не точное линейное смещение частицы от предполагаемой начальной точки, а угол θ, под которым частица вылетает из пластины. Обладая полной функцией распределения (12.76), легко вычислить функцию распределения углов, проинтегрировав по всем значениям 𝐷. Результат равен exp[-(θ²/2𝑅𝑇)]. Этого можно было ожидать, поскольку мы уже предположили, что среднеквадратичный угол отклонения при прохождении единичной толщины равен 𝑅, так что эта же величина для полной толщины 𝑇 должна быть 𝑅𝑇.
Предположим теперь, что мы наблюдаем только частицы, вылетающие под фиксированным углом θ, и рассмотрим для этих частиц функцию распределения по положениям точек вылета 𝐷. Найдём, что распределение вероятностей имеет максимум при 𝐷=θ𝑇/2. Этого можно было бы ожидать, если бы конечный угол отклонения θ нарастал пропорционально толщине пластины; тогда среднее значение угла во время пролёта через пластину было бы равным θ/2.
Задача 12.2. Покажите, что нормировочный коэффициент для функции распределения 𝑃(𝐷,θ) 𝑑𝐷 𝑑θ равен
⎧
⎪
⎩
6
π𝑅𝑇³
⎫½
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
1
2π𝑅𝑇
⎫½
⎪
⎭
.
(12.77)
§ 7. Квантовая механика
В этом и следующих параграфах нам хотелось бы посмотреть, как формулируются статистические задачи в квантовой механике. Вероятности неотделимы от квантовой механики, так как даже объект, находящийся в известном состоянии, одновременно с некоторой вероятностью находится в других состояниях. Кроме того, неопределённость может вноситься извне. Например, исходное состояние объекта само может быть задано с какой-то вероятностью. Такая ситуация аналогична ситуации в классической механике, в которой неизвестны начальные условия, а задано лишь распределение вероятностей для таких условий. В классической механике мы уже сталкивались с подобной проблемой, но это был сугубо частный случай, когда состояние с энергией 𝐸 имеет соответствующую вероятность 𝑒-𝐸/𝓀𝑇. Здесь мы рассмотрим более общую картину.
Пусть квантовомеханическая система находится под влиянием заданного внешнего потенциала 𝑉(𝑡). Что можно сказать, если потенциал описывается распределением вероятностей 𝑃[𝑉(𝑡)]𝒟𝑉? Нужно ли нам в действительности решать задачу для каждого потенциала 𝑉(𝑡) и затем усреднять, или же имеется способ сформулировать задачу уже после усреднения по 𝑉(𝑡)? Хотелось бы надеяться, что это именно так, потому что часто оказывается намного легче решить статистическую задачу после предварительного усреднения, чем искать общее решение первоначальной задачи с очень большим числом условий. В этом параграфе покажем, что такая формулировка действительно возможна. После этого рассмотрим случай, когда квантовомеха-ническая система возмущается не классической, а некоторой другой статистически неопределённой квантовой системой.
Основная цель этой главы — показать, как можно сформулировать эти и другие подобные вопросы. Мы не будем заниматься детальным решением упомянутых частных задач; они нужны нам лишь для того, чтобы помочь понять способы постановки более общих проблем.
