=

∫

𝑘(𝑡)

𝑒

^𝑖ω𝑡

𝑑𝑡

.

(12.55)

Используя это представление, можно записать характеристический функционал для распределения шума, соответствующего равенству (12.43), в следующей форме:

Φ

=

𝑒

^{-½∫|𝐾(ω)|²𝒫(ω)𝑑ω/2π}

,

(12.56)

где выражение, обратное (12.55), подставлено непосредственно в (12.43). При этом функционалу (12.56) соответствует вероятностный функционал

𝑃

=

𝑒

^{-½∫|φ(ω)|²[1/𝒫(ω)]𝑑ω/2π}

(12.57)

Этот результат можно получить непосредственно из выражения 12.56). Для этого заметим, что

𝑒

^{𝑖∫𝑘(𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡}

=

𝑒

^{𝑖∫𝐾(ω)φ(ω)𝑑ω/2π}

.

(12.58)

Тогда в соответствии с определением (12.14) получим

𝑃

=

∫

Φ

𝑒

^{𝑖∫𝐾(ω)φ(ω)𝑑ω/2π}

𝒟𝐾(ω)

.

(12.59)

Если теперь допустить, что возможны лишь дискретные значения ω, разделённые бесконечно малыми интервалами Δ, то интегралы в показателе экспоненты (12.56) и (12.57) можно заменить суммами Римана. При этом наши интегралы по траекториям примут вид

𝑃

=

∏

^ω

∫

𝑒

^{-(Δ/2)|𝐾(ω)|²𝒫(ω)}

𝑒

^{𝑖Δ𝐾(ω)φ(ω)}

𝑑𝐾(ω)

.

(12.60)

Интеграл при каждом значении со вычисляется независимо (выделением полного квадрата). В результате имеем

∏

^ω

exp

⎧

⎪

⎩

-(Δ/2)|φ(ω)|²

𝒫(ω)

⎫

⎪

⎭

.

(12.61)

Объединив отдельные множители в этом произведении, получим функционал (12.57). Ясно, что все происходящее на одной частоте не зависит от происходящего на других частотах, а величина сигнала с частотой ω, φ(ω), распределяется по гауссову закону со средним квадратом, пропорциональным 𝒫(ω).

§ 6. Броуновское движение

Как правило, метод интегралов по траекториям на практике не облегчает решение задачи, если она не может быть решена другим способом. Тем не менее каждый, кто до сих пор следил за нашими рассуждениями и знаком с интегралами по траекториям, признает этот способ выражения очень простым, если дело касается вероятностных задач.

Рассмотрим влияние броуновского движения на некоторую линейную систему, например гармонический осциллятор с затуханием, возбуждаемый случайно изменяющейся силой 𝑓(𝑡). Допустим, что масса осциллятора равна единице. В этом случае необходимо решить уравнение

𝑥̈

-

γ𝑥̇

+

ω

2

0

𝑥

=

𝑓(𝑡)

,

(12.62)

где 𝑥(𝑡) координата осциллятора. Если функция 𝑓(𝑡) определяется заданным распределением вероятности 𝑃_𝑓[𝑓(𝑡)], то каким окажется вероятностное распределение 𝑃_𝑥[𝑥(𝑡)] для различных возможных траекторий 𝑥(𝑡)? Уравнение (12.62) связывает координату 𝑥 и силу 𝑓, т.е. для каждого значения 𝑓(𝑡) существует 𝑥(𝑡). Следовательно, вероятность обнаружить заданную функцию 𝑥 такова же, что и вероятность соответствующей функции 𝑓, т.е.

𝑃

_𝑥

[𝑥(𝑡)]

𝒟𝑥(𝑡)

=

𝑃

_𝑓

[𝑓(𝑡)]

𝒟𝑓(𝑡)

,

(12.63)

где величина 𝑥 связана с 𝑓 уравнением (12.62). В общем случае нужно быть осторожным при переходе от 𝒟𝑥(𝑡) и 𝒟𝑓(𝑡), так как тут существует зависимость, аналогичная якобиану преобразования элементарных объёмов. Однако если 𝑓 и 𝑥 связаны линейно (как это имеет место в нашем случае), то этот якобиан равен константе. Таким образом, как и в обычном методе интегралов по траекториям, если имеется уверенность в возможности нормировать результат, то

𝑃

_𝑥

[𝑥(𝑡)]

=

const 𝑃

_𝑓

(

𝑥̈

-

γ𝑥̇

+

ω

2

0

𝑥

),

(12.64)

что даёт формальное решение нашей задачи. Если 𝑃_𝑓 представляет собой гауссово распределение, то и 𝑃_𝑥 имеет такой же вид. В этом случае задача может быть решена многими способами, причём самый очевидный из них — разложение в ряд Фурье при условии, что ω²₀ и γ не зависят от времени.

Многие задачи в какой-то степени можно поставить и частично решить, исходя из уравнения (12.64). Рассмотрим конкретный пример. Быстрая частица пролетает сквозь вещество и вблизи ядер претерпевает резкие, но небольшие по величине изменения скорости. Какова вероятность того, что, пройдя толщину 𝑇, частица отклонится на расстояние 𝐷 от первоначальной прямолинейной траектории и будет двигаться под углом θ к ней, как это показано на фиг. 12.1?

Фиг. 12.1. Движение быстрой частицы пердендикулярно пластинке вещества толщиной 𝑇.

Пройдя толщину 𝑡 в направлении первоначального движения, быстрая частица вследствие взаимодействий с ядрами вещества отклоняется на расстояние 𝑥. В конце концов она вылетает из пластинки на расстоянии 𝐷 от точки 𝑥=0, в которой она вылетела бы при отсутствии взаимодействий, и движется под углом θ к первоначальному направлению.

Предположим, что взаимодействие не приводит к заметному уменьшению продольной скорости частицы и вещество, сквозь которое проходит частица, однородно. Далее, допустим, что угол θ всегда мал и что движение представляет собой результат очень большого числа взаимодействий, каждое из которых даёт малый эффект. Допустим также, что среднее число столкновений в слое бесконечно малой толщины 𝑑𝑡 равно μ и что в каждом столкновении происходит отклонение на угол Δ, определяемый распределением вероятности 𝑝(Δ)𝑑(Δ); пусть этому распределению соответствует среднеквадратичное отклонение

_∞

∫

^-∞

Δ²

𝑝(

Δ

)𝑑(

Δ

)

=

σ²

(12.65)

(мы будем обозначать μσ² через 𝑅).

Ограничимся изучением проекции движения на двумерную плоскость, содержащую первоначальный путь частицы. Движение в плоскости, перпендикулярной ей, будет происходить аналогично, а движение в любой из плоскостей можно рассматривать независимо друг от друга. Обозначим через 𝑡 глубину проникновения частицы в пластинку; пусть θ — угол мгновенного направления движения в рассматриваемой плоскости, а 𝑥 — отклонение частицы от первоначальной траектории, как указано на фиг. 12.1. Эти параметры связаны соотношением 𝑑𝑥=θ или 𝑥̇=θ.

Мы предполагаем, что отклонения частицы на угол Δ происходят внезапно, так что θ̇=𝑓(𝑡), где функция 𝑓 представляется суммой δ-функций со случайными значениями времени и случайными относительными коэффициентами. Это означает, что 𝑥̈=𝑓(𝑡) и 𝑃_𝑓[𝑓(𝑡)] обладает характеристическим функционалом

Φ

=

exp

⎧