φ(𝑘)
=
⟨𝑒
𝑖𝑘𝑥
⟩
=
∞
∫
-∞
𝑒
𝑖𝑘𝑥
𝑃(𝑥)
𝑑𝑥
.
(12.8)
Иногда эту функцию называют также производящей функцией для моментов. Она представляет собой просто преобразования Фурье для 𝑃(𝑥) и очень полезна для оценки различных характеристик распределения, так как её наличие эквивалентно заданию самой функции распределения. Последнее вытекает из возможности выполнить обратное преобразование
𝑃(𝑥)
=
∞
∫
-∞
𝑒
-𝑖𝑘𝑥
φ(𝑘)
𝑑𝑘
.
(12.9)
Некоторые важные параметры этого распределения можно определить, вычисляя производные характеристической функции. Так, например, среднее значение 𝑥 равно
⟨𝑥⟩
=
-𝑖
𝑑φ(𝑘)
𝑑𝑘
⎪
⎪
⎪𝑘=0
,
(12.10)
что легко показать, дифференцируя обе части равенства (12.8) по 𝑘 и полагая затем 𝑘=0. В самом деле, существует последовательность соотношений
φ(0)=1
,
φ'(0)=𝑖⟨𝑥⟩
,
φ''(0)=⟨𝑥²⟩
,…
(12.11)
Следующий наш шаг состоит в обобщении понятия характеристической функции на случай функционального распределения. Математическое определение такой характеристической функции можно построить, снова возвращаясь к нашей картине дискретных интервалов времени; затем нужно выполнить преобразование Фурье для функции распределения большого числа переменных, используя ядро exp(𝑖𝑘1𝑓1) exp(𝑖𝑘2𝑓2) …. При переходе к пределу бесконечного разбиения временных интервалов ядро превращается просто в exp[𝑖∫𝑘(𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡]. Это и есть функционал, среднее значение которого мы хотим вычислить для построения характеристического функционала. Используя равенство (12.6), получаем
Φ[𝑘(𝑡)]
=
∫𝑒𝑖∫𝑘(𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑃[𝑓(𝑡)]𝒟𝑓(𝑡)
∫𝑃[𝑓(𝑡)]𝒟𝑓(𝑡)
.
(12.12)
Этот характеристический функционал также обладает важными специальными свойствами. Например, Φ(0)=1, а среднее значение функции 𝑓(𝑡), вычисляемое в некоторый момент времени 𝑡=𝑎, равно
⟨𝑓(𝑎)⟩
=
-𝑖
δ
δ𝑘(𝑎)
Φ[𝑘(𝑡)]
⎪
⎪
⎪𝑘(𝑡)=0
,
(12.13)
где используется функциональная производная, определённая в § 2 гл. 7.
В принципе можно выполнить обратное интегральное преобразование Фурье по траекториям и записать вероятностный функционал в форме
𝑃[𝑓(𝑡)]
=
𝑒
-𝑖∫𝑘(𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡
Φ[𝑘(𝑡)]
𝒟𝑘(𝑡)
(12.14)
где интеграл по траекториям берётся в пространстве функций 𝑘.
Для дальнейшего использования заметим, что если функция 𝑓(𝑡) всюду совпадает с некоторой заданной функцией 𝐹(𝑡), т.е. 𝑃[𝑓(𝑡)] равен нулю для всех 𝑓(𝑡), кроме 𝐹(𝑡), то характеристическая функция имеет вид
Φ
=
𝑒
𝑖∫𝑘(𝑡)𝐹(𝑡)𝑑𝑡
.
(12.15)
§ 3. Шумы
Используем теперь развитые выше идеи для изучения конкретных примеров и в ходе этого выработаем несколько новых понятий. Пусть мы проводим эксперимент, в котором считаем сигналы некоторого типа, например импульсы, создаваемые космическими лучами в счётчике Гейгера, или импульсы теплового шума в вольтметре. В таких случаях импульсы проявляются не просто как резкие дискретные всплески энергии, а характеризуются нарастанием и спадом потенциала. Внимательное изучение реального изменения потенциала, вызванного такими импульсами, показало бы, что для сигнала, пришедшего в момент 𝑡, оно имело бы форму 𝑔(𝑡). Точно так же, если бы сигнал приходился на момент 𝑡=𝑡0, форма потенциальной кривой была бы 𝑔(𝑡-𝑡0).
Далее предположим, что мы проводим наши измерения в интервале времени 𝑇, в течение которого регистрируются импульсы с центрами в моменты 𝑡1,𝑡2,…,𝑡𝑛. Полное изменение потенциала в течение всего эксперимента было бы
𝑛
∑
𝑗=1
𝑔(𝑡-𝑡
𝑗
)
.
Так как нам известно, когда произошли все события, то наша функция распределения просто должна выражать достоверность. Используя равенство (12.15), получаем соответствующую характеристическую функцию
Φ
= exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
𝑛
∑
𝑗=1
𝑘(𝑡)
𝑔(𝑡-𝑡
𝑗
)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
.
(12.16)
Предположим теперь, что до проведения эксперимента мы хотели бы определить вероятность наблюдения вполне определённого изменения потенциала с течением времени. Допустим при этом, что 𝑛 событий равновероятно распределены по всему интервалу 𝑇, т.е. что вероятность события в интервале времени 𝑑𝑡 равна 𝑑𝑡/𝑇. В этом случае характеристическая функция оказывается равной
Φ
=
𝑇
∫
0
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
𝑛
∑
𝑗=1
𝑘(𝑡)
𝑔(𝑡-𝑡
𝑗
)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑡1
𝑇
𝑑𝑡2
𝑇
…
𝑑𝑡𝑛
𝑇
=
=
⎧
⎨
⎩
𝑇
∫
0
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
∫
𝑘(𝑡+𝑠)
𝑔(𝑡)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑠
𝑇
⎫𝑛
⎬
⎭
.
(12.17)
Обозначим выражение в скобках через 𝐴 и запишем результат как 𝐴𝑛.
Если число событий в интервале времени распределяется так, что применимо распределение Пуассона, т.е. наступление любого события не зависит от момента наступления других событий и имеется постоянная скорость μ появления среднего числа событий за единицу времени, то среднее число событий, происходящих за время 𝑇, равно μ𝑇=𝑛 и характеристическая функция
Φ
=
∑
𝑛
𝐴
𝑛
𝑛𝑛
𝑛!
𝑒
-𝑛
.
(12.18)
Сумма в правой части этого равенства представляет собой разложение экспоненты от (𝐴-1)𝑛, так что характеристическую функцию можно записать в виде
Φ
=
𝑒
-(𝐴-1)𝑛
=
exp
⎡
⎢
⎣
-μ𝑇
⎧
⎪
⎩
1-
𝑇
∫
0
⎧
⎨
⎩
𝑒
𝑖∫𝑘(𝑡+𝑠)𝑔(𝑡)𝑑𝑡
⎫
⎬
