=

𝑆[𝑥]+

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

⎧

⎪

⎩

δ𝑥̇

∂𝐿

∂𝑥̇

+δ𝑥

∂𝐿

∂𝑥

⎫

⎪

⎭

𝑑𝑡.

(2.5)

После интегрирования по частям вариация 𝑆 примет вид

δ𝑆=δ𝑥

∂𝐿

∂𝑥̇

⎢

⎢

⎢

𝑡_𝑏

𝑡_𝑎

-

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

δ𝑥

⎡

⎢

⎣

𝑑

𝑑𝑡

⎧

⎪

⎩

∂𝐿

∂𝑥̇

⎫

⎪

⎭

-

∂𝐿

∂𝑥

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑡.

(2.6)

Так как на концах траектории δ𝑥 = 0, то первый член в правой части этого выражения равен нулю. В промежуточных точках δ𝑥 может принимать произвольное значение; поэтому экстремальное значение 𝑆 отвечает той траектории, в каждой точке которой всегда выполнено равенство

𝑑

𝑑𝑡

⎧

⎪

⎩

∂𝐿

∂𝑥̇

⎫

⎪

⎭

-

∂𝐿

∂𝑥

=0.

(2.7)

Это и есть классическое уравнение движения в лагранжевой форме.

В классической механике важен вид интеграла 𝑆=∫𝐿𝑑𝑡, а не его экстремальное значение 𝑆_кл. Это обусловлено тем, что для определения траектории, соответствующей наименьшей величине действия, необходимо знать действие 𝑆 для всего семейства близколежащих траекторий.

В квантовой механике важны как сам вид интеграла 𝑆, так и его значение в точке экстремума. Вычислим экстремальное значение 𝑆 для нескольких случаев.

Задача 2.1. Для свободной частицы лагранжиан 𝐿=𝑚𝑥̇²/2. Покажите, что действие, соответствующее классическому движению такой частицы,

𝑆

_кл

=

𝑚

2

(𝑥_𝑏-𝑥_𝑎)²

𝑡_𝑏-𝑡_𝑎

(2.8)

Задача 2.2. Лагранжиан гармонического осциллятора 𝐿=(𝑚/2)(𝑥̇²-ω𝑥²). Покажите, что классическое действие

𝑆

_кл

=

𝑚ω

2sin ω𝑇

⎡

⎢

⎣

(𝑥

2

𝑎

+𝑥

2

𝑏

) cos ω𝑇-2𝑥

_𝑎

𝑥

_𝑏

⎤

⎥

⎦

(2.9)

где 𝑇=𝑡_𝑏-𝑡_𝑎.

Задача 2.3. Вычислите 𝑆_кл для частицы, на которую действует постоянная сила 𝐹, т.е. когда лагранжиан 𝐿=𝑚𝑥̇²/2-𝐿_𝑥.

Задача 2.4. В классической механике импульс

𝑝=

∂𝐿

∂𝑥̇

.

(2.10)

Покажите, что в начальной точке траектории импульс равен

⎧

⎪

⎩

∂𝐿

∂𝑥̇

⎫

⎪

⎭

𝑥=𝑥_𝑎

=

∂𝑆_кл

∂𝑥_𝑎

.

(2.11)

Замечание. Для этого надо рассмотреть изменение соотношения (2.6) при варьировании в конечных точках.

Задача 2.5. Энергия в классической механике определяется выражением

𝐸=𝐿-𝑥̇𝑝.

(2.12)

Покажите, что в конечной точке траектории энергия равна

𝐸(𝑥

_𝑏

)-𝑥̇

_𝑏

⎧

⎪

⎩

∂𝐿

∂𝑥̇

⎫

⎪

⎭

𝑥=𝑥_𝑏

=

∂𝑆_кл

∂𝑡_𝑏

.

(2.13)

Замечание. Вариация по времени в конечной точке приводит к изменению траектории, так как все траектории должны быть классическими.

§ 2. Квантовомеханическая амплитуда вероятности

Теперь мы можем сформулировать квантовомеханическое правило вычисления амплитуды вероятности. Для этого необходимо установить, какой вклад вносит каждая траектория в полную амплитуду перехода из точки 𝑎 в точку 𝑏. Дело в том, что вклад дают сразу все траектории, а не только та, которая соответствует экстремальному действию. При этом вклады отдельных траекторий равны по величине, но различаются значением фазы; фаза данного вклада будет равна действию 𝑆 для этой траектории, выраженному в единицах кванта действия ℏ. Таким образом, подводим итог: вероятность 𝑃(𝑏,𝑎) перехода частицы из точки 𝑥_𝑎, где она находилась в момент времени 𝑡_𝑎, в точку 𝑥_𝑏, соответствующую моменту времени 𝑡_𝑏, равна квадрату модуля амплитуды перехода 𝑃(𝑏,𝑎)=|𝐾(𝑏,𝑎)|². Эта амплитуда представляет собой сумму вкладов φ[𝑥(𝑡)] от каждой траектории в отдельности, т.е.

𝐾(𝑏,𝑎)=

∑

φ[𝑥(𝑡)]

по всем

возможным

переходам

из 𝑎 в 𝑏

(2.14)

где суммирование выполняется по всем траекториям, соединяющим точки 𝑎 и 𝑏. Фаза вклада каждой траектории пропорциональна действию 𝑆:

φ[𝑥(𝑡)]=const⋅𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]}

(2.15)

Действие 𝑆 здесь то же самое, что и в случае соответствующей классической системы [см. выражение (2.1)]. Константу можно, выбрать из соображений удобства нормировки величины 𝐾; это мы сделаем после того, как более строго (с математической точки зрения) рассмотрим, что понимается под суммой по всем траекториям в соотношении (2.14).

§ 3. Классический предел

Прежде чем перейти к более строгому рассмотрению, сравним наше квантовое правило с классическим. С первого взгляда остаётся совершенно неясным, каким образом в классическом приближении наиболее важной окажется всего лишь одна траектория, тогда как из выражения (2.15) следует, что все траектории вносят в амплитуду одинаковый вклад, хотя и с различными фазами. Однако классическое приближение соответствует случаю, в котором размеры, массы, интервалы времени и другие параметры системы настолько велики, что действие 𝑆 во много раз превосходит постоянную ℏ= 1,05⋅10^-27 эрг⋅сек. В этом случае фаза 𝑆/ℏ каждого парциального вклада представляет собой чрезвычайно большой угол. Действительная (или мнимая) часть функции φ равна косинусу (или синусу) этого угла и в равной степени может оказаться как положительной, так и отрицательной. Если теперь, как показано на фиг. 2.1, мы сдвинем траекторию на малую величину δ𝑥 (малую в смысле классических масштабов), то изменение действия 𝑆 также будет небольшим в классическом смысле, однако отнюдь не малым при сопоставлении с величиной ℏ. Эти небольшие изменения траектории будут, вообще говоря, приводить к огромным изменениям фазы, так что её косинус и синус совершают очень быстрые и частые колебания между положительными и отрицательными значениями. Таким образом, если одна траектория даёт положительный вклад, то другая, бесконечно близкая к ней (в классическом смысле), даёт такой же отрицательный вклад, так что в целом не возникает никакого вклада.