В качестве упражнения читатель может использовать это выражение для того, чтобы вычислить ядро 𝐾(𝑏,𝑎), суммируя вклады от траекторий с одной, двумя и т.д. точками поворота. Это даст

𝐾(𝑏,𝑎)=

∑

𝑁(𝑅)(𝑖ε)

^𝑅

,

^𝑅

(2.27)

где 𝑁(𝑅) — число возможных траекторий с 𝑅 точками поворота. Лучше всего вычислять четыре отдельные величины 𝐾, а именно: 𝐾₊₊(𝑏,𝑎)— амплитуду перехода из точки 𝑎, где скорость частицы была положительной (т.е. направленной вдоль оси 𝑥), в точку 𝑏, в которой её скорость также положительна; 𝐾_+-(𝑏,𝑎) — амплитуду перехода из точки 𝑎, где частица имела отрицательную скорость, в точку 𝑏, куда частица приходит с положительной скоростью; аналогично определены амплитуды 𝐾_-+ и 𝐾_--.

Предположим теперь, что время измеряется в единицах ℏ/𝑚𝑐². Покажите, что если интервал времени очень велик (𝑡_𝑏-𝑡_𝑎 ≫ ℏ/𝑚𝑐²), а средняя скорость мала [𝑥_𝑏-𝑥_𝑎 ≪ 𝑐(𝑡_𝑏-𝑡_𝑎)], то ядро [если не считать множителя exp (𝑖𝑚𝑐²/ℏ)(𝑡_𝑎-𝑡_𝑏)] совпадает с выражением для свободной частицы [см. (3.3)]. Приведённые здесь выражения амплитуды и ядра справедливы для одномерного движения свободной релятивистской частицы, и результат совпадает с решением уравнения Дирака для этого случая.

§ 5. Последовательные события

Правило для двух событий. В этом параграфе мы выведем важный закон сложения амплитуд вероятностей событий, которые происходят последовательно во времени. Предположим, что 𝑡_𝑐 — некоторый момент времени в промежутке между 𝑡_𝑎 и 𝑡_𝑏. Тогда действие, соответствующее произвольной траектории между точками 𝑎 и 𝑏, может быть записано как

𝑆[𝑏,𝑎]=

𝑆[𝑏,𝑐]+

𝑆[𝑐,𝑎].

(2.28)

Это следует из определения действия как интеграла по времени от функции Лагранжа 𝐿, а также из того, что 𝐿 не зависит от производных более высокого порядка, чем скорость. (В противном случае нам пришлось бы в точке 𝑐 определять значения скорости и, возможно, производных более высокого порядка.) Используя равенство (2.25), которым определяется ядро, можно записать

𝐾(𝑏,𝑎)=

∫

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

𝑆[𝑏,𝑐]+

𝑖

ℏ

𝑆[𝑐,𝑎]

⎫

⎪

⎭

𝒟𝑥(𝑡).

(2.29)

Фиг. 2.5. Вычисление суммы по траекториям.

Один из способов, которым может быть вычислена сумма по всем траекториям, заключается в суммировании по всем траекториям, проходящим через точку 𝑥_𝑐 в момент времени 𝑡_𝑐, и в последующем суммировании по точкам 𝑥_𝑐.

Для каждой траектории, выходящей из точки 𝑎 в точку 𝑏 через 𝑐, амплитуда вероятности равна произведению двух сомножителей: 1) амплитуды перехода из точки 𝑎 в точку 𝑐 и 2) амплитуды перехода из точки 𝑐 в точку 𝑏. Следовательно, это справедливо также и для суммы по всем траекториям, проходящим через точку 𝑐: полная амплитуда перехода из точки 𝑎 в точку 𝑏 через 𝑐 равна 𝐾(𝑏,𝑐)𝐾(𝑐,𝑎). Поэтому полную амплитуду перехода из точки 𝑎 в точку 𝑏, т.е. соотношение (2.31), мы получим путём суммирования по всем альтернативам (по всем значениям 𝑥_𝑐).

Точка 𝑐 разделяет любую траекторию на два участка. Как показано на фиг. 2.5, концами первого будут 𝑥_𝑎 и 𝑥_𝑐=𝑥(𝑡_𝑐), а концами второго — 𝑥_𝑐 и 𝑥_𝑏. Можно проинтегрировать по всем траекториям между точками 𝑎 и 𝑐, а потом по всем траекториям между точками 𝑐 и 𝑏 и, наконец, результат проинтегрировать по всем возможным значениям 𝑥_𝑐. При выполнении первого интегрирования 𝑆[𝑏,𝑐] является постоянной. Поэтому результат можно записать в виде

𝐾(𝑏,𝑎)=

∫

𝑥_𝑐

𝑏

∫

𝑐

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆[𝑏,𝑐]}

𝐾(𝑐,𝑎)

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

_𝑐

.

(2.30)

Выполнив интегрирование по всем траекториям от 𝑐 до 𝑏, а затем по всем возможным значениям 𝑥_𝑐, получим окончательно

𝐾(𝑏,𝑎)=

∫

𝐾(𝑏,𝑐)

𝐾(𝑐,𝑎)

𝑑𝑥

_𝑐

.

𝑥

_𝑐

(2.31)

Быть может, рассуждения будут более понятыми, если исходить из выражения (2.22). Выделим один из дискретных моментов времени 𝑡_𝑘. Пусть 𝑡_𝑐=𝑡_𝑘 и 𝑥_𝑐=𝑥_𝑘. Сначала интегрируем по всем 𝑥_𝑖 для которых 𝑖<𝑘. Это приведёт к появлению под знаком интеграла множителя 𝐾(𝑐,𝑎). Далее интегрируем по всем 𝑥_𝑖, для которых 𝑖>𝑘; так получается множитель 𝐾(𝑏,𝑐). После этого остаётся проинтегрировать по 𝑥_𝑐, и результат запишется в виде (2.31).

Окончательный итог можно кратко сформулировать следующим образом. Любая из возможных траекторий между точками 𝑎 и 𝑏 однозначно определяется выбором точки 𝑥_𝑐, которая отвечает моменту времени 𝑡_𝑐. В случае частицы, движущейся из точки 𝑎 в точку 𝑏, ядро можно вычислить, руководствуясь такими правилами:

1) ядро, соответствующее переходу из точки 𝑎 в точку 𝑏, равняется сумме амплитуд перехода частицы из точки 𝑎 в точку 𝑐 и далее в точку 𝑏 по всем возможным значениям величины 𝑥_𝑐;

2) амплитуда перехода из точки 𝑎 в точку 𝑐 и далее в точку 𝑏 равна произведению ядер, соответствующих переходам из точки 𝑎 в точку 𝑐 и из точки 𝑐 в точку 𝑏.

Таким образом, имеет место правило: амплитуды последовательных во времени событий перемножаются.

Обобщение правила на случай нескольких событий. Существует много приложений этого важного правила; некоторые из них будут изложены в последующих главах. Здесь же мы покажем, как оно применяется для того, чтобы получить выражение (2.22) другим способом.

Каждую траекторию можно делить на части двумя моментами времени: 𝑡_𝑐 и 𝑡_𝑑. Тогда ядро, соответствующее частице, движущейся из точки 𝑎 в точку 𝑏, можно записать в виде

𝐾(𝑏,𝑎)=

∫

∫

𝐾(𝑏,𝑐)

𝐾(𝑐,𝑑)

𝐾(𝑑,𝑎)

𝑑𝑥

_𝑐

𝑑𝑥

_𝑑

.

𝑥

_𝑐

𝑥

_𝑑

(2.32)

Это означает, что частица, которая движется из точки 𝑎 в точку 𝑏, рассматривается так, как если бы она двигалась сначала из точки 𝑎 в точку 𝑑, потом из точки 𝑑 в точку 𝑐 и, наконец, из точки 𝑐 в точку 𝑏. Амплитуда, соответствующая такой траектории, есть произведение ядер, отвечающих каждой части траектории. Ядро, взятое по всем таким траекториям, проходящим из точки 𝑎 в точку 𝑏, получается интегрированием этого произведения по всем возможным значениям переменных 𝑥_𝑐 и 𝑥_𝑑.

Мы можем продолжать этот процесс до тех пор, пока весь интервал времени не разделится на 𝑁 участков. В результате получим

𝐾(𝑏,𝑎)=

∫

𝑥₁

∫

𝑥₂

…

∫

𝑥_𝑁-1

𝐾(𝑏,𝑁-1)