𝑁

_ε

=

𝑡

_𝑏

-𝑡

_𝑎

,

ε

=

𝑡

_𝑖+1

-𝑡

_𝑖

,

𝑡

₀

=

𝑡

_𝑎

, 𝑡

_𝑁

=𝑡

_𝑏

,

𝑥

₀

=

𝑥

_𝑎

, 𝑥

_𝑁

=𝑥

_𝑏

.

(2.19)

В результате получим выражение

𝐾(𝑏,𝑎)∼

∫∫

…

∫

φ[𝑥(𝑡)]𝑑𝑥

₁

𝑑𝑥

₂

…𝑑𝑥

_𝑁-1

.

(2.20)

Интегрирование не производится по 𝑥₀ и 𝑥_𝑁, так как эти переменные совпадают с фиксированными концами траекторий 𝑥_𝑎 и 𝑥_𝑏. Это выражение формально соответствует соотношению (2.17). Уменьшая ε, мы можем получить более полное представление множества всех возможных траекторий, соединяющих точки 𝑎 и 𝑏. Однако точно так же, как и в случае интеграла Римана, невозможно достичь предела этого процесса, так как такой предел не существует. Мы снова должны ввести некоторый нормирующий множитель, который, как и следует ожидать, будет зависеть от ε.

К сожалению, определение такого нормирующего множителя оказывается весьма трудной задачей, и неизвестно, как это делать в общем случае. Однако нам это удаётся сделать для всех задач, которые до сих пор имели практическое значение. Возьмём, например, случай, когда лагранжиан задаётся выражением (2.2). Нормирующий множитель в этом случае равен 𝐴^-𝑁, где

𝐴=

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏε

𝑚

⎫½

⎪

⎭

.

(2.21)

Как получен этот результат, мы увидим далее (см. § 1 гл. 4). С учётом множителя 𝐴 переход к пределу имеет смысл, и мы можем написать

𝐾(𝑏,𝑎)=

lim

^ε→0

1

𝐴

∫∫

…

∫

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆[𝑏,𝑎]}

𝑑𝑥₁

𝐴

𝑑𝑥₂

𝐴

…

𝑑𝑥_𝑁-1

𝐴

(2.22)

где

𝑆[𝑏,𝑎]=

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝐿(𝑥̇,𝑥,𝑡)𝑑𝑡

(2.23)

представляет собой однократный интеграл вдоль траектории, проходящей, как это показано на фиг. 2.3, через все соединённые прямолинейными отрезками точки 𝑥_𝑖.

Фиг. 2.3. Сумма по всем траекториям.

Она определяется как предел, в котором траектория первоначально задаётся лишь координатами 𝑥 для большого числа фиксированных моментов времени, разделённых очень малыми интервалами длины ε. Тогда сумма по траекториям равна интегралу по всем этим выбранным координатам. Наконец для определения меры берётся предел при ε→0.

Возможно и более изящное определение траектории. Для соединения точек 𝑥_𝑖 и 𝑥_𝑖+1 вместо отрезков прямых линий мы могли бы использовать отрезки классической траектории. Тогда можно было бы сказать, что 𝑆 — это наименьшее значение интеграла, взятого от лагранжиана по всем траекториям, которые проходят через выбранные точки (𝑥_𝑖,𝑡_𝑖). При таком определении нет необходимости прибегать к каким-то не имеющим физического смысла переходам по отрезкам прямых.

Интеграл по траекториям. Имеется много способов выбрать некоторое подмножество из всех траекторий, проходящих через точки 𝑎 и 𝑏. Применявшийся нами способ, возможно, не является наилучшим с точки зрения математики. Предположим, например, что лагранжиан зависит от ускорения в точках 𝑥. В нашем способе построения траектории скорость имеет разрывы во всех точках (𝑥_𝑖,𝑡_𝑖), и, следовательно, ускорение в этих точках бесконечно велико. Это могло бы привести к затруднениям, но в тех немногих примерах, с которыми мы уже имели дело, вполне законной была замена

𝑥̈=

1

ε²

(𝑥

_𝑖+1

-2𝑥

_𝑖

+𝑥

_𝑖-1

)

(2.24)

Могут быть случаи, когда такая замена непригодна или неточна и использовать наше определение суммы по траекториям становится весьма затруднительно. Такая ситуация возникает уже при обычном интегрировании, если некорректно определение интеграла по Риману, задаваемое равенством (2.18), и приходится обращаться к другим определениям, например к интегралу Лебега.

Необходимость уточнить способ интегрирования вовсе не дискредитирует саму идею. Просто речь идёт о том, что возможные неудобства, связанные с нашим определением суммы по траекториям [см. выражение (2.22)], в конечном счёте могут потребовать формулировки новых определений. Тем не менее сама идея суммирования по всем траекториям, подобно идее обычного интеграла, не зависит от специфики определения и сохраняет смысл, несмотря на недостатки некоторых частных построений. Поэтому, пользуясь менее связывающими обозначениями, мы будем записывать сумму по траекториям как

𝐾(𝑏,𝑎)=

𝑏

∫

𝑎

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆[𝑏,𝑎]}

𝒟𝑥(𝑡)

(2.25)

и называть её интегралом по траекториям. Это обстоятельство отметим введением знака 𝒟 вместо оператора дифференциала 𝑑. Лишь изредка мы будем возвращаться к выражению типа (2.22).

Задача 2.6. Класс функционалов, на котором можно определить интегралы по траекториям, оказывается неожиданно широким. До сих пор мы рассматривали лишь функционалы типа (2.15). Теперь перейдём к рассмотрению совсем иного типа функционалов, возникающих в одномерной релятивистской задаче. Предположим, что движущаяся по прямой частица может перемещаться только вперёд и назад со скоростью света. Для удобства выберем такие масштабы измерений, чтобы скорость света, масса частицы и постоянная Планка равнялись единице. Тогда в плоскости (𝑥,𝑡) все траектории движения такого осциллятора имеют наклон ±π/4, как показано на фиг. 2.4. Амплитуду, соответствующую одной из таких траекторий, можно определить следующим образом: разделим время на малые интервалы длиной ε и предположим, что изменение направления движения может происходить только на границе этих интервалов, т.е. в моменты времени 𝑡=𝑡_𝑎+𝑛ε, где 𝑛 — целое число. В такой релятивистской задаче амплитуда перехода вдоль рассматриваемой траектории отличается от амплитуды (2.15); правильным в данном случае будет выражение

φ=(𝑖ε)

^𝑅

,

(2.26)

где 𝑅 — число точек поворота на траектории.

Фиг. 2.4. Траектория релятивистской частицы, движущейся в двух измерениях.

Это зигзагообразная линия с прямолинейными отрезками. Наклон прямых постоянен по величине и различается только знаком в обеих частях зигзага. Амплитуда вероятности для некоторой частной траектории, так же как и ядро, описывающее переход из точки 𝑎 в точку 𝑏, зависит от числа поворотов 𝑅 на траектории; это следует из выражений (2.26) и (2.27).