и снова проинтегрируем, на этот раз по переменной 𝑥₂; получим результат, совпадающий с правой частью равенства (3.4), если не считать того, что бином (𝑥₂-𝑥₀)² заменяется на (𝑥₃-𝑥₀)², а величина 2ε в двух местах заменяется на 3ε:

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏ⋅3ε

𝑚

⎫-½

⎪

⎭

exp

⎡

⎢

⎣

𝑚

2𝑖ℏ⋅3ε

(𝑥

₃

-𝑥

₀

)²

⎤

⎥

⎦

.

Таким образом мы можем построить рекуррентный процесс, который после (𝑛-1)-го шага даёт функцию

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏ𝑛ε

𝑚

⎫-½

⎪

⎭

exp

⎡

⎢

⎣

𝑚

2𝑖ℏ⋅𝑛ε

(𝑥

_𝑛

-𝑥

₀

)²

⎤

⎥

⎦

.

Поскольку 𝑛ε=𝑡_𝑛-𝑡₀, то легко видеть, что результат (𝑁-1)-го шага совпадает с выражением (3.3).

Существует и другой метод вычисления. Можно воспользоваться соотношением (3.4), чтобы выполнить интегрирование по всем переменным 𝑥_𝑖 с нечётным значением 𝑖 (в предположении, что 𝑁 чётное). Получим выражение, формально совпадающее с формулой (3.2), но содержащее вдвое меньше переменных интегрирования. Оставшиеся переменные определены в моменты времени, отделённые друг от друга интервалом 2ε. Следовательно, по крайней мере в случае, когда 𝑁 можно представить как 2^𝑘, выражение (3.3) получается после 𝑘 таких шагов.

Задача 3.1. Вероятность того, что частица попадёт в точку 𝑏, по определению пропорциональна квадрату модуля ядра 𝐾(𝑏,𝑎). В случае движения свободной частицы, для которого ядро определяется выражением (3.3), эта вероятность

𝑃(𝑏)𝑑𝑥=

𝑚

2πℏ(𝑡_𝑏-𝑡_𝑎)

𝑑𝑥.

(3.6)

Ясно, что это относительная вероятность, так как интеграл по всем значениям 𝑥 расходится. Что означает этот способ нормировки? Покажите, что он соответствует некоторому классическому движению, когда частица выходит из точки 𝑎 с импульсом, все значения которого равновероятны. Покажите, что соответствующая относительная вероятность того, что импульс частицы лежит в интервале 𝑑𝑝, равна 𝑑𝑝/2πℏ.

Импульс и энергия. Выясним теперь смысл ядра, описывающего свободное движение частицы. Для удобства выберем в качестве начала отсчёта пространственных координат и времени точку 𝑎. Тогда амплитуда перехода в некоторую другую точку 𝑏(𝑥,𝑡) будет иметь вид

𝐾(𝑥,𝑡,0,0)=

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏ𝑡

𝑚

𝑒

^{𝑖𝑚𝑥²/2ℏ𝑡}

⎫-½

⎪

⎭

.

Если момент фиксирован, то эта амплитуда изменяется с расстоянием так, как это показано на фиг. 3.1, где представлена действительная часть выражения (3.7).

Фиг. 3.1. Действительная часть амплитуды перехода в различные точки на расстоянии 𝑥 от начала координат спустя время 𝑡.

Мнимая часть (не показана) представляет собой аналогичную волну, смещённую по фазе на 90°, так что модуль квадрата амплитуды — постоянная величина. Длина волны мала при больших 𝑥 т.е. при таких значениях, которые классическая частица может достичь, лишь если она движется с большой скоростью. В общем случае длина волны и классический импульс обратно пропорциональны друг другу (см. формулу (3.10)].

Мы видим, что по мере удаления от начала координат осцилляции становятся все более и более частыми. Если 𝑥 настолько велико, что произошло уже много таких осцилляций, то расстояние между соседними узлами почти постоянно, по крайней мере для нескольких ближайших осцилляций. Другими словами, амплитуда ведёт себя как синусоида с медленно меняющейся длиной волны λ. Представляет интерес вычислить эту длину волны. При изменении 𝑥 на длину волны λ фаза амплитуды должна увеличиться на 2π. Отсюда следует, что

2π=

𝑚(𝑥+λ)²

2ℏ𝑡

-

𝑚𝑥²

2ℏ𝑡

=

𝑚𝑥λ

ℏ𝑡

+

𝑚λ²

2ℏ𝑡

.

(3.8)

Пренебрегая величиной λ² по сравнению с 𝑥λ (т.е. предположив, что 𝑥≫λ, получаем

λ=

2πℏ

𝑚(𝑥/𝑡)

.

(3.9)

С точки зрения классической физики частица, переместившаяся из начала координат в точку 𝑥 за время 𝑡, имеет скорость 𝑥/𝑡 и импульс 𝑚𝑥/𝑡. Когда в квантовой механике движение частицы можно адекватно описать классическим импульсом 𝑝=𝑚𝑥/𝑡, соответствующая амплитуда вероятности изменяется в пространстве синусоидально и длина волны её колебаний равна

λ=

ℎ

𝑝

(3.10)

Это соотношение можно получить и в более общем случае. Предположим, что у нас есть некоторый прибор больших размеров, например магнитный анализатор, который собирает частицы с данным импульсом в заданную точку. Покажем, что если этот прибор достаточно велик и при работе с ним классическая физика является хорошим приближением, то амплитуда вероятности попадания частицы в наперёд заданную точку в пространстве осциллирует с длиной волны, равной ℎ/𝑝. Как мы уже видели, ядро в этом случае можно аппроксимировать выражением

𝐾~exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

𝑆

_кл

(𝑏,𝑎)

⎤

⎥

⎦

.

(3.11)

Вариация положения конечной точки 𝑥_𝑏 вызывает изменение классического действия. Если это действие велико по сравнению с ℏ (квазиклассическое приближение), то при изменении координаты 𝑥_𝑏 ядро 𝐾 будет очень быстро осциллировать. Изменение фазы, приходящееся на единицу смещения конечной точки, составляет

𝑘=

1

ℏ

∂𝑆_кл

∂𝑥_𝑏

.

(3.12)

Но ∂𝑆_кл/∂𝑥_𝑏 есть не что иное, как классический импульс частицы в точке 𝑥_𝑏 (см. задачу 2.4) и, следовательно, 𝑝=ℏ𝑘. Эта величина 𝑘 представляет собой изменение фазы на единицу длины волны и называется волновым числом; ею очень удобно пользоваться. Поскольку на расстоянии, равном длине волны, фаза изменяется на 2π, то 𝑘=2π/λ. Формула (3.12) представляет собой соотношение. де Бройля, связывающее импульс частицы с его волновым числом.

Фиг.3.2. Амплитуда вероятности найти частицу в заданной точке изменяется со временем.

Здесь показана действительная часть амплитуды. Частота колебаний пропорциональна энергии, которую должна была бы иметь частица, чтобы достичь заданной точки за время 𝑡.

Рассмотрим теперь временну'ю зависимость ядра, описывающего свободное движение. Предположим, что расстояние фиксировано, а время переменно. Изменение действительной части ядра (3.7) показано на фиг. 3.2, где вдоль оси времени переменны как частота, так и амплитуда колебаний.

Пусть время 𝑡 так велико, что зависимостью амплитуды колебаний от 𝑡 можно пренебречь. По определению период колебаний 𝑇 равен времени, в течение которого фаза возрастает на 2π тогда