2π=
𝑚𝑥²
2ℏ𝑡
-
𝑚𝑥²
2ℏ(𝑡+𝑇)
=
𝑚𝑥²
2ℏ𝑡²
⎧
⎪
⎩
𝑇
1+𝑇/𝑡
⎫
⎪
⎭
.
(3.13)
Введя угловую частоту ω=2π/𝑇 и предположив, что 𝑡≫𝑇, это выражение можно записать как
ω≈
𝑚
2ℏ
⎧
⎪
⎩
𝑥
𝑡
⎫²
⎪
⎭
(3.14)
Так как величина 𝑚(𝑥/𝑡)²/2 представляет собой классическую энергию свободной частицы, то это равенство утверждает, что
энергия=ℏω.
(3.15)
Соотношение (3.15), равно как и связь между длиной волны и импульсом, справедливо в случае любого прибора, который можно адекватно описать на языке классической физики, и его, так же как соотношение (3.12), можно получить из более общих соображений.
В соответствии с выражением (3.11) любая вариация времени 𝑡𝑏 в конечной точке приведёт к быстрым осцилляциям ядра. Частота этих осцилляций
ω=
1
ℏ
∂𝑆кл
∂𝑡
.
(3.16)
Величина ∂𝑆кл/∂𝑡 в классическом рассмотрении интерпретируется как энергия 𝐸 (см. задачу 2.5), и, следовательно,
ω=
𝐸
ℏ
.
(3.17)
Таким образом, понятия импульса и энергии переносятся в квантовую механику с помощью следующих правил:
1) если амплитуда вероятности изменяется как 𝑒𝑖𝑘𝑥, то говорят, что частица имеет импульс ℏ𝑘;
2) если эта амплитуда имеет определённую частоту, изменяясь с течением времени как 𝑒-𝑖ω𝑡, то говорят, что энергия равна ℏω.
Мы только что показали, что эти правила согласуются с определением энергии и импульса в предельном классическом случае.
Задача 3.2. Покажите с помощью подстановки, что в случае свободной частицы, как только 𝑡𝑏 превосходит 𝑡𝑎, ядро 𝐾(𝑏,𝑎) удовлетворяет дифференциальному уравнению
-
ℏ
∂𝐾(𝑏,𝑎)
=-
ℏ²
∂²𝐾(𝑏,𝑎)
𝑡
∂𝑡
𝑏
2𝑚
∂𝑥²
𝑏
(3.18)
§ 2. Дифракция при прохождении через щель
Мысленный эксперимент. Физическая интерпретация квантовой механики и её связь с классической станут более понятными, если мы рассмотрим другой, немного более сложный пример. Предположим, что в момент времени 𝑡0 частица выходит из начала координат, а спустя время 𝑇 мы находим её в некоторой точке 𝑥0. В классической механике мы говорили бы, что частица обладает скоростью 𝑣0=𝑥0/𝑇. При этом подразумевалось бы, что если частица будет продолжать двигаться дальше, то за время τ она пройдёт дополнительное расстояние 𝑣0τ. Чтобы проанализировать это с точки зрения квантовой механики, попытаемся решить следующую задачу.
В момент времени 𝑡0 частица выходит из начала координат 𝑥0. Пусть нам известно, что спустя время 𝑇 она находится в окрестности 𝑥0±𝑏 точки 𝑥0. Спрашивается, какова вероятность обнаружить частицу ещё через время τ на расстоянии 𝑥 от точки 𝑥0? Амплитуду перехода в точку 𝑥 в момент времени 𝑡+τ можно рассматривать как сумму вкладов от всех траекторий, соединяющих начало координат с конечной точкой, при условии, что в момент времени 𝑇 соответствующие траектории лежат в интервале 𝑥0±𝑏.
Эта амплитуда вычисляется очень быстро, однако стоит сначала разобрать, какого сорта эксперимент мы здесь рассматриваем. Каким образом можно узнать, что данная частица проходит в пределах ±𝑏 от точки 𝑥0? Можно посмотреть, как обычно, находится ли частица в момент времени 𝑇 в интервале 𝑥0±𝑏. Это был бы наиболее естественный способ, однако вследствие сложного взаимодействия электрона с прибором детальный анализ его является (по сравнению с другими возможностями) несколько затруднительным.
Фиг. 3.3. Движение частицы сквозь щель.
Известно, что частица, выходящая в момент времени 𝑡=0 из точки 𝑥=0, проходит между точками 𝑥0-𝑏 и 𝑥0+𝑏 в момент времени 𝑡=𝑇.
Мы хотим вычислить вероятность нахождения частицы в некоторой точке 𝑥 спустя время τ, т.е. когда 𝑡=𝑇+τ. Согласно классическим законам, частица должна находиться между 𝑥0(τ/𝑇)+𝑏(1+τ/𝑇) и 𝑥0(τ/𝑇)-𝑏(1+τ/𝑇), т.е. внутри ортогональной проекции щели. Однако квантовомеханические законы показывают, что частица может с отличной от нуля вероятностью находиться и вне этих классических пределов.
Эту задачу нельзя решать, применяя лишь закон движения для свободной частицы, так как щель ограничивает движение частицы. Поэтому разобьём задачу на две — соответственно двум последовательным движениям свободной частицы: в первой задаче рассматривается движение частицы из точки 𝑥=0 при 𝑡=0 в точку 𝑥=𝑥0+𝑦 при 𝑡=𝑇, где |𝑦|≤𝑏; во второй — движение из точки 𝑥0+𝑦 при 𝑡=𝑇 в точку 𝑥 при 𝑡=𝑇+τ. Полная амплитуда вероятности, как это видно из формулы (3.19), равна интегралу от произведения ядер для двух таких движений свободной частицы.
Предположим, что в момент времени 𝑇 нами просматривается, скажем, с помощью яркого света, вся ось 𝑥 за исключением интервала 𝑥0±𝑏. Как только частица обнаружена, мы прерываем опыт. Примем во внимание лишь те случаи, когда полное обследование всей оси, за исключением интервала 𝑥0±𝑏, показывает, что нигде нет ни одной частицы, т.е. исключены все траектории, проходящие за пределами интервала 𝑥0±𝑏. Схема эксперимента приведена на фиг. 3.3. Амплитуду теперь можно написать в виде
ψ(𝑥)=
𝑏
∫
-𝑏
𝐾(𝑥+𝑥
0
,𝑇+τ;𝑥
0
+𝑦,𝑇)
𝐾(𝑥
0
+𝑦,𝑇;0,0)𝑑𝑦.
(3.19)
Это выражение записано в соответствии с правилом сложения амплитуд для последовательных во времени событий. Событие первое — частица движется от начала координат до щели. Событие второе — дальнейшее движение частицы от щели до точки 𝑥. Щель имеет конечную ширину, и прохождение через каждую её точку связано с различными альтернативными возможностями; поэтому мы должны интегрировать по всей ширине щели. Частицы, которые минуют эту щель, выбывают из эксперимента, и их амплитуды в сумму не войдут. Все частицы, которые проходят через щель, движутся как свободные, и соответствующие им ядра задаются выражением (3.3). Амплитуда вероятности имеет, таким образом, вид
ψ(𝑥)=
𝑏
∫
-𝑏
⎧
⎪
⎩
2π𝑖ℏτ
𝑚
⎫-½
⎪
⎭
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚(𝑥-𝑦)²