2ℏτ
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
⎧
⎪
⎩
2π𝑖ℏ𝑇
𝑚
⎫-½
⎪
⎭
×
×
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚(𝑥0+𝑦)²
2ℏ𝑇
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑦.
(3.20)
Этот интеграл можно выразить через интегралы Френеля. В таком представлении уже содержатся физические результаты (которые мы обсудим ниже), но они не наглядны из-за математической сложности интегралов Френеля. Чтобы не затемнять математикой физический смысл результатов, мы получим другую, но аналогичную формулу, которая приведёт нас к более простым математическим выражениям.
Гауссова щель. Введём в подынтегральное выражение в качестве вспомогательного множителя функцию 𝐺(𝑦). Если положить эту функцию равной единице в интервале -𝑏≤𝑦≤+𝑏 и равной нулю всюду вне его, то пределы интегрирования можно раздвинуть до бесконечности без изменения результата. Тогда
ψ(𝑥)=
∞
∫
-∞
𝑚𝐺(𝑦)
2π𝑖ℏ√τ𝑇
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖𝑚
2ℏ
⎡
⎢
⎣
(𝑥-𝑦)²
τ
+
(𝑥0-𝑦)²
𝑇
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝑑𝑦,
(3.21)
где
𝐺(𝑦)=
⎧
⎨
⎩
1 для -𝑏≤𝑦≤𝑏,
0 для |𝑦|>𝑏.
Допустим теперь, что в качестве 𝐺(𝑦) взята функция Гаусса
𝐺(𝑦)=𝑒
-𝑦²/2𝑏²
.
(3.22)
Эта функция имеет вид, указанный на фиг. 3.4; эффективная ширина кривой связана с параметром 𝑏. Для такой функции приблизительно две трети всей площади под ней лежат между точками -𝑏 и +𝑏.
Фиг.3.4. Вид гауссовой функции 𝐺(𝑦)=𝑒-𝑦²/2𝑏².
Форма кривой та же самая, что и у нормального распределения со стандартным отклонением, равным 𝑏.
Мы не знаем, каким образом можно было бы технически осуществить такую гауссову щель для реализации нашего мысленного эксперимента. Однако здесь нет принципиальной трудности: просто налицо ситуация, когда в момент времени 𝑇 частицы распределены вдоль оси 𝑥 с относительной амплитудой вероятности, пропорциональной функции 𝐺(𝑦) (относительная вероятность пропорциональна [𝐺(𝑦)]²). Если бы частицы двигались классическим образом, то мы ожидали бы, что по истечении времени 𝑇 они будут распределены вдоль оси 𝑥 так же, как и раньше, но с новым центром распределения на расстоянии 𝑥1 от точки 𝑥0 и с большей шириной 𝑏1 определяемыми равенствами
𝑥
1
=
⎧
⎪
⎩
𝑥0
𝑇
⎫
⎪
⎭
τ, 𝑏
1
=𝑏
⎧
⎪
⎩
1+
τ
𝑇
⎫
⎪
⎭
,
(3.23)
как показано на фиг. 3.5.
Фиг. 3.5. Траектории частиц, движущихся сквозь гауссову щель.
Если частицы подчиняются классическим законам движения, то их распределение в момент времени 𝑇+τ будет иметь тот же самый вид, что и в момент времени 𝑇. Различие состояло бы только в величине уширения, пропорционального времени пролёта частиц. Характеристическая ширина распределения (т.е. ширина на половине высоты пика. — Ред.) будет возрастать от значения 2𝑏 до 2𝑏1, где 𝑏1=𝑏(𝑇+τ)/𝑇. В действительности ширина в случае квантовомеханического движения будет больше указанной.
В случае такой гауссовой щели выражением для амплитуды будет
ψ(𝑥)=
∞
∫
-∞
𝑚
2π𝑖ℏ√τ𝑇
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚
2ℏ
⎧
⎪
⎩
𝑥²
τ
+
𝑥²0
𝑇
⎫
⎪
⎭
+
+
𝑖𝑚
ℏ
⎧
⎪
⎩
-
𝑥
τ
+
𝑥0
𝑇
⎫
⎪
⎭
𝑦+
⎧
⎪
⎩
𝑖𝑚
2ℏτ
+
𝑖𝑚
2ℏ𝑇
-
1
2𝑏²
⎫
⎪
⎭
𝑦²
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑦.
(3.24)
Этот интеграл, подынтегральная функция которого имеет вид exp(α𝑥²+β𝑥), можно вычислить, дополняя показатель экспоненты до полного квадрата:
∞
∫
-∞
[exp(α𝑥²+β𝑥)]𝑑𝑥=
⎧
⎪
⎩
π
-α
⎫½
⎪
⎭
exp
⎧
⎪
⎩
-
β²
4α
⎫
⎪
⎭
для Re(α)≤0.
(3.25)
Таким образом, амплитуда становится равной
ψ(𝑥)=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2π𝑖ℏ
⎫½
⎪
⎭
⎡
⎢
⎣
𝑇τ
⎧
⎪
⎩
1
𝑇
+
1
τ
+
ℏ𝑖
𝑏²𝑚
⎫
⎪
⎭
⎤-½
⎥
⎦
×
×exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚
2ℏ
⎧
⎪
⎩
𝑥²
τ
+
𝑥²0
𝑇
⎫
⎪
⎭
-
(𝑖𝑚/ℏ)²(-𝑥/τ+𝑥0/𝑇)²
4(𝑖𝑚/2ℏ)(1/τ+1/𝑇+ℏ𝑖/𝑏²𝑚)
⎤
⎥
⎦
.
(3.26)
Классическая скорость при движении от начала координат до центра щели есть 𝑣0=𝑥0𝑇. Подставив это в последнее равенство и сгруппировав некоторые члены, получим следующее выражение для амплитуды:
ψ(𝑥)=
