⎧
⎪
⎩
𝑚ω
2π𝑖ℏ sin ω𝑇
⎫½
⎪
⎭
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖𝑚ω
2ℏ sin ω𝑇
[
(𝑥
2
1
+𝑥
2
2
)
cos ω𝑇
-
2𝑥
1
𝑥
2
]
⎫
⎬
⎭
=
=
∞
∑
𝑛=0
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑛𝑇
φ
𝑛
(𝑥
2
)
φ
*
𝑛
(𝑥
1
)
.
(8.10)
Используя соотношения
𝑖 sin ω𝑇
=
1
2
𝑒
𝑖ω𝑇
(1-𝑒
-2𝑖ω𝑇
)
,
cos ω𝑇
=
1
2
𝑒
𝑖ω𝑇
(1+𝑒
-2𝑖ω𝑇
)
,
(8.11)
левую часть равенства (8.10) можно записать как
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
πℏ
⎫½
⎪
⎭
𝑒
-(𝑖ω𝑇/2)
(1-𝑒
-2𝑖ω𝑇
)
½
×
×
exp
⎧
⎨
⎩
-
𝑚ω
2ℏ
⎡
⎢
⎣
(𝑥
2
1
+𝑥
2
2
)
⎧
⎪
⎩
1+𝑒2𝑖ω𝑇
1-𝑒2𝑖ω𝑇
⎫
⎪
⎭
-
4𝑥1𝑥2𝑒-𝑖ω𝑇
1-𝑒2𝑖ω𝑇
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
.
(8.12)
Ряд, имеющий вид правой части равенства (8.10), получится, если разложить выражение (8.12) в ряд по степеням функции exp(-𝑖ω𝑇). Так как первый коэффициент здесь равен exp(-𝑖ω𝑇/2), то все члены этого разложения будут иметь вид exp(-𝑖ω𝑇/2) exp(-𝑖𝑛ω𝑇/2), где 𝑛=0, 1, 2, …, а это означает, что уровни энергии определяются выражением
𝐸
𝑛
=
ℏω
⎧
⎪
⎩
𝑛+
1
2
⎫
⎪
⎭
,
(8.13)
Однако для того, чтобы найти волновые функции, необходимо выполнить разложение полностью. Проиллюстрируем этот метод решения на примере 𝑛=2. Разлагая левую часть равенства (8.10) до членов указанного порядка, получаем
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
πℏ
⎫½
⎪
⎭
𝑒
-(𝑖ω𝑇/2)
⎧
⎪
⎩
1+
1
2
𝑒
-2𝑖ω𝑇
+…
⎫
⎪
⎭
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑚ω
2ℏ
(𝑥
2
1
+𝑥
2
2
)
-
-
𝑚ω
ℏ
(𝑥
2
1
+𝑥
2
2
)
(
𝑒
-2𝑖ω𝑇
+…
)
+
2𝑚ω
ℏ
𝑥
1
𝑥
2
𝑒
-𝑖ω𝑇
+…
⎤
⎥
⎦
(8.14)
или
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
πℏ
⎫½
⎪
⎭
exp
⎧
⎪
⎩
-
𝑚ω
2ℏ
(𝑥
2
1
+𝑥
2
2
)
⎫
⎪
⎭
𝑒
-𝑖ω𝑇/2
⎧
⎪
⎩
1+
1
2
𝑒
-2𝑖ω𝑇
⎫
⎪
⎭
×
×
⎡
⎢
⎣
1+
2𝑚ω
ℏ
𝑥
1
𝑥
2
𝑒
-𝑖ω𝑇
+
4𝑚²ω²
2ℏ²
𝑥
2
1
𝑥
2
2
𝑒
-2𝑖ω𝑇
-
-
𝑚ω
ℏ
(𝑥
2
1
+𝑥
2
2
)
𝑒
-2𝑖ω𝑇
…
⎤
⎥
⎦
.
(8.15)
Теперь мы можем выделить коэффициент при члене низшего порядка. Он равен
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
πℏ
⎫½
⎪
⎭
exp
⎧
⎪
⎩
-
𝑚ω
2ℏ
(𝑥
2
1
+𝑥
2
2
)
⎫
⎪
⎭
𝑒
-(𝑖ω𝑇/2)
=
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸0𝑇
φ
0
(𝑥
2
)
φ
*
0
(𝑥
1
)
(8.16)
Это означает, что 𝐸0=ℏω/2 и
φ
0
(𝑥)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
πℏ
⎫1/4
⎪
⎭
𝑒
-(𝑚ω𝑥²/2ℏ)
.
(8.17)
Мы выбрали в качестве φ0 действительную функцию. Можно было бы выбрать и комплексную функцию, включив множитель 𝑒𝑖δ (где δ константа), однако это не даст ничего нового для физической интерпретации результата.
Член следующего порядка в разложении равен
𝑒
-𝑖ω𝑇/2
𝑒
-𝑖ω𝑇
𝑚ω
πℏ
exp
⎧
⎪
⎩
-
𝑚ω
2ℏ
(𝑥
2
1
+𝑥
2
2
)
⎫
⎪
⎭
2𝑚ω
ℏ
𝑥
1
𝑥
2
=
=
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸1𝑇
φ
1
(𝑥
2
)
φ
*
1
(𝑥
1
)
.
(8.18)
Отсюда следует, что 𝐸1=3/2ωℏ и
φ
1
(𝑥)
=
2𝑚ω
ℏ
𝑥φ
0
(𝑥)
.
(8.19)
Следующий член соответствует энергии 𝐸2=5/2ωℏ. Его часть, зависящая от 𝑥1 и 𝑥2, равна
