⎧
⎪
⎩
𝑚ω
πℏ
⎫½
⎪
⎭
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑚ω
2ℏ
(𝑥
2
1
+𝑥
2
2
)
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
2𝑚²ω²
ℏ²
𝑥
2
1
𝑥
2
2
-
𝑚ω
ℏ
(𝑥
2
1
+𝑥
2
2
)
⎤
⎥
⎦
;
(8.20)
это не что иное, как произведение функций φ2(𝑥2) φ*2(𝑥1). Так как выражение в скобках может быть переписано как
1
2
⎧
⎪
⎩
2𝑚ω
ℏ
𝑥
2
1
-1
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
2𝑚ω
ℏ
𝑥
2
2
-1
⎫
⎪
⎭
,
(8.21)
то мы получим функцию φ2 в виде
φ
2
(𝑥)
=
1
√2
⎧
⎪
⎩
2𝑚ω
ℏ
𝑥²
-1
⎫
⎪
⎭
φ
0
(𝑥)
.
(8.22)
Результаты эти можно сравнить с результатами в соотношениях (8.7) и (8.8), полученными из решения волнового уравнения.
В принципе таким способом можно найти все волновые функции. Однако здесь мы встречаемся с трудной алгебраической задачей отыскания общего вида функций φ𝑛 непосредственно из разложения. Другой путь, обходящий эту трудность, показан в следующей задаче.
Задача 8.1. Заметим, что амплитуда перехода из любого состояния 𝑓(𝑥) в другое состояние 𝑔(𝑥) равна амплитуде перехода ⟨𝑔|1|𝑓⟩, как это определено в соотношении (7.1).
Пусть 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) могут быть разложены в ряд по ортогональным функциям φ𝑛(𝑥) — решениям волнового уравнения, связанного с ядром 𝐾(2,1), подобно тому как это делалось в § 2 гл. 4. Таким образом,
𝑓(𝑥)
=
∑
𝑓
𝑛
φ
𝑛
(𝑥)
,
𝑔(𝑥)
=
∑
𝑔
𝑛
φ
𝑛
(𝑥)
.
(8.23)
Используя коэффициенты 𝑓𝑛 и 𝑔𝑛 и соотношение (4.59), покажите, что амплитуду перехода можно представить в виде
∫
∫
𝑔*(𝑥
2
)
𝐾(𝑥
2
,𝑇;𝑥
1
,0)
𝑓(𝑥
1
)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
=
∑
𝑔
*
𝑛
𝑓
𝑛
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑛𝑇
.
(8.24)
Пусть теперь мы выбрали две такие функции 𝑓 и 𝑔 что для них разложение в правой части соотношения (8.24) является достаточно простым. Тогда после вычисления функций 𝑓𝑛 можно получить некоторое представление о волновых функциях φ𝑛 из вида разложений (8.23). Предположим, что функции 𝑓 и 𝑔 мы выбрали следующим образом:
𝑓(𝑥)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
πℏ
⎫1/4
⎪
⎭
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑚ω
2ℏ
(𝑥-𝑎)²
⎤
⎥
⎦
,
(8.25)
𝑔(𝑥)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
πℏ
⎫1/4
⎪
⎭
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑚ω
2ℏ
(𝑥-𝑏)²
⎤
⎥
⎦
.
(8.26)
Эти функции представляют собой гауссовы распределения с центрами соответственно в точках 𝑎 и 𝑏. Обозначим их как 𝑓𝑛=𝑓𝑛(𝑎) и 𝑔𝑛=𝑓𝑛(𝑏). Определим амплитуду перехода ⟨𝑓|1|𝑔⟩, где 𝑓 и 𝑔 заданы соответственно выражениями (8.25) и (8.26), а ядро совпадает с ядром для случая гармонического осциллятора из выражения (8.1). Интеграл в формуле (8.24) преобразуем так, чтобы получить
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖ω𝑇
2
-
𝑚ω
4ℏ
(𝑎²+𝑏²-2𝑎𝑏)
𝑒
-𝑖ω𝑇
⎤
⎥
⎦
=
=
∑
𝑛
𝑓
𝑛
(𝑎)
𝑓
*
𝑛
(𝑏)
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑛𝑇
.
(8.27)
Исходя из этого результата, покажите, что 𝐸𝑛=ℏω(𝑛+½) и
𝑓
𝑛
(𝑎)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
2ℏ
⎫𝑛/2
⎪
⎭
𝑎𝑛
√𝑛!
exp
⎧
⎪
⎩
𝑚ω𝑎2
4ℏ
⎫
⎪
⎭
.
(8.28)
Подставляя полученный результат в формулу (8.24), напишите для φ𝑛 выражение, которое следует из соотношения (8.7), в предположении, что функции 𝐻𝑛(𝑥) нам неизвестны. Найдите для них отсюда производящую функцию (8.9).
§ 2. Многоатомная молекула
В предыдущем параграфе мы получили волновые функции и энергетические уровни, описывающие простой гармонический осциллятор. Исследование системы взаимодействующих осцилляторов начнём с изучения вопроса о многоатомных молекулах. Определим сначала координаты, описывающие положение атомов в молекуле. Положение каждого атома будем задавать тремя ортогональными координатами: 𝑥𝑎, 𝑦𝑎 и 𝑧𝑎, которые отсчитываются от его положения равновесия. Если масса атома равна 𝑚𝑎, то кинетическая энергия всей молекулы определяется выражением
∑
𝑎
1
2
𝑚
𝑎
(
𝑥̇
2
𝑎
+
𝑦̇
2
𝑎
+
𝑧̇
2
𝑎
),
(8.29)
где суммирование производится по всем атомам, входящим в молекулы.
При общем рассмотрении нам удобнее не пользоваться векторными обозначениями, а применить другой метод. Предположим, что молекула содержит 𝑁 атомов. Тогда 𝑛=3𝑁 ортогональных координат можно определить следующим образом:
𝑞
