∑
𝐤
∫
[
𝑗
1𝐤
(𝑡)
𝑗
*
1𝐤
(𝑠)
+
𝑗
2𝐤
(𝑡)
𝑗
*
2𝐤
(𝑠)
]
4π
2𝑘𝑐
𝑒
-𝑖𝑘𝑐|𝑡-𝑠|
𝑑𝑡
𝑑𝑠
.
(9.64)
Таким образом, вопрос о переходе вакуума в вакуум полностью решается методом интегрирования лишь по траекториям переменных, относящихся к веществу:
амплитуда
=
∫
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
(𝑆
част
+𝐼)
⎤
⎥
⎦
𝒟𝑞(𝑡)
.
(9.65)
Обсудим ряд следствий, вытекающих из этого результата (случай, когда начальное или конечное состояние отлично от вакуумного, разбирается в гл. 10 ).
Основной вывод имеет простой смысл: функцией действия для вещества является не 𝑆част, а модифицированная функция 𝑆'част=𝑆част+𝐼. Это изменение обусловлено взаимодействием вещества с электромагнитным полем.
Такое толкование не является строго классическим, так как функция действия 𝐼 — комплексная. Можно показать, что законы классической физики, которые получаются из принципа наименьшего действия при использовании только действительной части 𝑆'част в точности совпадают с комбинацией уравнений Максвелла и законов Ньютона. Однако при этом никак не учитывается то обстоятельство, что решения уравнений Максвелла берутся только в виде запаздывающих волн (в самом деле, условие выбора запаздывающих волн нельзя выразить с помощью принципа наименьшего действия, если действие выражается только через координаты частиц; такая функция действия соответствует полусумме опережающего и запаздывающего решений [6]).
Займёмся теперь исследованием нашего полного квантовомеханического комплексного выражения для 𝐼, в котором учитывается условие запаздывания.
Первое приближение теории возмущений. Точное вычисление интеграла по 𝑞 является слишком сложной задачей, поэтому воспользуемся тем, что в выражения для токов в действии 𝐼 входит электрический заряд частиц 𝑒. Действие 𝐼 пропорционально 𝑒² или в безразмерной форме — постоянной тонкой структуры
𝑒²
ℏ𝑐
=
1
137,039
— весьма малой величине, точное значение которой берётся из опыта. Можно ожидать, что эффекты, обусловленные действием 𝐼, малы. Мы уже знаем, что, например, значения атомных уровней теория Шрёдингера даёт вполне точно, поэтому здесь могут быть лишь малые ошибки, возникающие из-за пренебрежения действием 𝐼.
Рассмотрим эффекты, обусловленные действием 𝐼, в первом порядке по 𝑒², соответственно — во втором порядке по 𝑒, используя первоначальное выражение действия в виде (9.32). Введём λ𝑀𝑀 — амплитуду вероятности перехода материальной системы из начального состояния 𝑀 в такое же конечное состояние подобно тому, как это делалось в § 5 гл. 6. Если пренебречь вкладом от 𝐼, то в нулевом порядке будем иметь
λ
𝑀𝑀0
=
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸
𝑀
𝑡
.
(9.66)
Член первого порядка
λ
𝑀𝑀1
=
1
ℏ
𝑡𝑓
∫
𝑡𝑖
ψ
*
𝑀
(𝑞
𝑓
)
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆част
𝐼ψ
𝑀
(𝑞
𝑖
)
𝒟𝑞(𝑡)
=
=-
1
2ℏ
∑
𝐤
∫
ψ
*
𝑀
(𝑞
𝑓
)
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆част
∫
[
𝑗
*
1𝐤
(𝑡)
𝑗
1𝐤
(𝑠)
+
+
𝑗
*
2𝐤
(𝑡)
𝑗
2𝐤
(𝑠)
]
4π
2𝑘𝑐
𝑒
-𝑖𝑘𝑐|𝑡-𝑠|
𝑑𝑡
𝑑𝑠
ψ
𝑀
(𝑞
𝑖
)
𝒟𝑞(𝑡)
.
(9.67)
Будем считать, что 𝑡>𝑠 это даёт коэффициент, равный двум. Аналогичное выражение уже вычислялось в § 1 гл. 5. Для данного случая получаем
λ
𝑀𝑀1
=-
𝑖
ℏ
(
Δ
𝐸)
𝑇
𝑒
-𝑖𝐸
𝑀
𝑇/ℏ
,
где
Δ𝐸
=
𝑖
∑
𝑁
∑
𝐤
4π
2𝑘𝑐
[
(𝑗
*
1𝐤
)
𝑀𝑁
(𝑗
1𝐤
)
𝑁𝑀
+
(𝑗
*
2𝐤
)
𝑀𝑁
(𝑗
2𝐤
)
𝑁𝑀
]×
×
∞
∫
0
𝑒
(𝑖/ℏ)(𝐸𝑀-𝐸𝑁-ℏ𝑘𝑐)τ
𝑑τ
=
∑
𝑁
4πℏ
∫
[
|(𝑗
𝐤
)
𝑁𝑀
|²
+
+
|(𝑗
2𝐤
)
𝑁𝑀
|²
][
2𝑘𝑐
(𝐸
𝑀
-𝐸
𝑁
-𝑘ℏ𝑐+𝑖ε)]
-1
𝑑³𝐤
(2π)³
.
(9.68)
Выделив в этом выражении действительную и мнимую части, можно записать его в виде
Δ𝐸
=
δ𝐸
-
𝑖ℏγ
2
.
Действительная часть δ𝐸 соответствует малому сдвигу энергетических уровней, впервые экспериментально обнаруженному Лэмбом и Ризерфордом — так называемому лэмбовскому сдвигу. Этот сдвиг составляет
δ𝐸
=
∑
𝑁
∫
[
|(𝑗
1𝐤
)
𝑁𝑀
|²
+
+
|(𝑗
2𝐤
)
𝑁𝑀
|²
]
𝐏.𝐏.
(𝐸
𝑀
-𝐸
𝑁
-ℏ𝑘𝑐)
-1
4πℏ
2𝑘𝑐
𝑑³𝐤
(2π)³
.
(9.69)
Мнимая часть Δ𝐸 имеет вид
ℏγ
2
=
∑
𝑁
∫
[
|(𝑗
1𝐤
)
𝑁𝑀
|²
+
+
|(𝑗
2𝐤
)
𝑁𝑀
|²
]
πδ
(𝐸
𝑀
-𝐸
𝑁
-ℏ𝑘𝑐)
4πℏ
2𝑘𝑐
𝑑³𝐤
(2π)³
.
(9.70)
Амплитуда вероятности того, что атом остаётся в возбуждённом состоянии и не испускает фотонов, записывается теперь как exp [-𝑖(𝐸𝑚+δ𝐸-𝑖γ/2)𝑇/ℏ] и соответствующая вероятность равна exp (-γ𝑇). Таким образом, вероятность того, что атом остаётся в состоянии 𝑀, экспоненциально уменьшается в зависимости от величины декремента затухания γ.
