Физически это уменьшение вероятности объясняется тем, что атом в состоянии 𝑀 может испустить фотон и перейти в более низкое состояние 𝑁. Сравнивая выражения (9.53) и (9.70), мы убеждаемся, что γ действительно есть полная вероятность перехода за единицу времени из состояния 𝑀 во все нижележащие состояния 𝑁.

§ 5. Электрон в поле излучения

Поправка к энергии. Чтобы лучше понять смысл электромагнитной поправки к энергии, рассмотрим очень простой пример: систему, состоящую всего лишь из одного движущегося заряда, положение которого характеризуется вектором 𝐑 (например, атом водорода с бесконечно тяжёлым ядром или свободный электрон в пустом пространстве). Тогда ток 𝐣=𝑒𝐑̇ exp(𝑖𝐤⋅𝐑/ℏ).

В данном случае ток 𝐣 содержит 𝐑̇, поэтому в соответствии с § 3 гл. 7 при рассмотрении членов второго порядка малости нам следует проявить некоторую осторожность. Поправка к энергии δ𝐸 содержит дополнительный член, связанный с квадратом скорости 𝑅̇². Выражая 𝐑̇ (подобно тому, как это делалось в § 5 гл. 7) через оператор импульса 𝐩, получаем

δ𝐸

₁

=

∑

^𝑁

∫

𝑑³𝐤

2𝑘𝑐 (2π)³

(

|𝐩

₁

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐑}

|

2

𝑁𝑀

+

+

|𝐩

₂

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐑}

|

2

𝑁𝑀

)

4π𝑒²ℏ

𝑚²(𝐸_𝑀-𝐸_𝑁-ℏ𝑘𝑐)

+

4π𝑒²

𝑚

∫

ℏ

2𝑘𝑐

𝑑³𝐤

(2π)³

.

(9.71)

Задача 9.10. Почему нет необходимости точно вычислять в матричных элементах экспоненту ½[𝐩₁ exp(-𝑖𝐤⋅𝐑/ℏ) + exp(-𝑖𝐤⋅𝐑/ℏ)𝐩₁]?

Рассмотрим теперь простейший случай покоящегося свободного электрона. В этом случае поправка к энергии, связанная с полем, в любом состоянии представляет собой поправку к энергии покоя, или, как это следует из теории относительности,— к массе δ𝑚=δ𝐸_𝑅/𝑐². Это и есть так называемая электромагнитная масса электрона. Состояния покоящейся свободной частицы описываются плоскими волнами. Если 𝑀 и 𝑁 — импульсы электрона соответственно в состояниях 𝐩_𝑀 и 𝐩_𝑁, то матричный элемент [𝐩₁ exp(-𝑖𝐤⋅𝐑/ℏ)_𝑁𝑀] всегда равен нулю, за исключением случая 𝐩_𝑁=𝐩_𝑀-𝐤 он равен 𝐩_1𝑁 Поэтому матричный элемент, соответствующий первоначально покоившемуся электрону, равен нулю, а поправка δ𝐸_𝑅 здесь есть не что иное, как последний расходящийся интеграл в выражении (9.71).

Затруднения с короткими волнами. Однако это ещё не все. Когда мы выделяли в 𝑆_𝑐 член, содержащий ρ_𝑘ρ_𝑘/2𝑘², уже указывалось, что этот член соответствует взаимодействию точечных зарядов

½

∑

^𝑖,𝑗

𝑒

_𝑖

𝑒

_𝑗

|𝑞

_𝑖

-𝑞

_𝑗

|

^-1

,

однако не было отмечено, что при этом в сумму должны включаться также и расходящиеся члены с 𝑖=𝑗. Действительно, для отдельной частицы ρ_𝑘=𝑒 exp(𝑖𝐤⋅𝐪), поэтому ½|ρ_𝑘|²/𝑘² = 4π𝑒²/2𝑘² и в выражение 𝑆_𝑐 войдёт интеграл 4π𝑒²∫(½𝑘²)𝑑³𝑘/(2π)³. Здесь и выше в δ𝐸_𝑅 расходимости не сокращаются, и мы встречаемся с серьёзной трудностью: интегралы по импульсу 𝑘 оказываются квадратично расходящимися, квантовая электродинамика даёт бессмысленный результат.

Правда, наше рассмотрение заряженной частицы было нерелятивистским. Однако релятивистское рассмотрение вещества (квантовая электродинамика при этом не изменяется) не избавляет нас от расходящихся результатов, хотя порядок расходимости может при этом измениться.

Для частицы с нулевым спином, подобной π-мезону, степень расходимости не изменяется и по-прежнему остаётся квадратичной. Здесь, однако, мы имеем возможность определить экспериментальное значение поправки к массе. Насколько известно, заряженный и нейтральный π-мезоны различаются только зарядом, т.е. по-разному взаимодействуют с электромагнитным полем, оставаясь неразличимыми при всех других взаимодействиях. Поэтому можно предполагать, что различие масс заряженного и нейтрального π-мезонов (их массы равны соответственно 𝑚_π = 273,2 и 264,2 электронных масс), составляющее 9,0 электронных масс, равно 0,034 𝑚_π = 4,6 Мэв, т.е. равно энергии, заключённой в электромагнитном поле.

Ограничим верхние пределы интегрирования в расходящихся интегралах некоторым импульсом 𝑘_макс (такая операция, к сожалению, релятивистски неинвариантна). Тогда последний член соотношения (9.71), который в случае ℏ𝑘_макс/𝑐≫𝑚_π значительно превосходит два других, даст значение энергии, равное 𝑒²(𝑘_макс)²/2π𝑚_π𝑐. Если это значение приравнять величине 𝑚_π±-𝑚_π0 = 0,034 𝑚_π𝑐², т.е. положить (𝑒²/2πℏ𝑐)(ℏ𝑘_макс/𝑚_π𝑐)² = 0,034, то для 𝑘_макс получим оценку

𝑘

_макс

≈

5,4𝑚_π𝑐

ℏ

≈

0,8𝑀𝑐

ℏ

,

где 𝑀 — масса протона. (Релятивистская теория даёт Δ𝐸 = 0,034𝑚_π при обрезании приблизительно на том же значении 𝑘_макс). Именно поэтому мы считаем, что наши сегодняшние представления о квантовой электродинамике (или о «частицах», с которыми взаимодействуют фотоны) весьма неудовлетворительны. Затруднения появляются, когда мы имеем дело с энергиями, большими массы протона, или с соответствующими величинами частот и волновых чисел. Эти трудности связаны с собственными колебаниями, длина волны λ которых меньше чем 10^-14 см.

Согласно теории Дирака, электрон, спин которого равен ½, должен обладать определённым магнитным моментом. Оказывается, что такому магнитному моменту соответствует отрицательная магнитная энергия, которая почти полностью компенсирует положительную электрическую энергию. Разность этих энергий, как и раньше, расходится, однако теперь только логарифмически. Если в соответствующих интегралах провести обрезание тех же длин волн, что и выше, то поправка к массе электрона составит всего лишь около 3%, однако этого сейчас никак нельзя проверить, так как электрон не имеет нейтрального партнёра.

Аномальный магнитный момент протона так велик, что его магнитная энергия превышает электрическую и поправка может стать отрицательной. Нейтрон также имеет магнитный момент, поэтому поправка для него тоже отрицательна. Однако магнитный момент протона больше, и именно этим можно объяснить тот факт, что нейтрон тяжелее протона. Если расходящиеся интегралы обрезать на величине энергии порядка протонной массы, получается правильное значение разности масс протона и нейтрона, несмотря на очень грубый способ вычисления этой точно измеренной величины Δ𝑀 = 782,71 ± 0,40 кэв [25]. Массовые различия между различными частицами — протоном и нейтроном, заряженным и нейтральным пионами, положительным, нейтральным и отрицательным Σ-гиперонами и т.д.— бросают серьёзный вызов современной физике ¹) и, возможно, указывают на недостаточность квантовой электродинамики как полной теории, описывающей электромагнитные явления. Мы не знаем, что на самом деле ошибочно: квантовая электродинамика или наше предположение о распределении заряда внутри частиц. Только когда у нас будет завершённая полная теория частиц и их взаимодействий, мы сможем выяснить ограничения нашей теперешней теории квантовой электродинамики (или, во всяком случае, некоторые из них).

¹) Разработанная недавно теория SU₃- и SU₆-симметрий позволяет вычислить разности масс сильно взаимодействующих частиц (мезонов и барионов) не только для заряженных и нейтральных партнёров, но и для таких, казалось бы, совершенно различных частиц, как нуклон и Σ-гиперон или π и 𝑘-мезоны. (Подробнее см., например, монографию: В. С. Барашенков, Сечения взаимодействия элементарных частиц, М., 1966.) — Прим. ред..