§ 6. Лэмбовский сдвиг

В соответствии с уравнением Шрёдингера второй уровень атома водорода является вырожденным. Энергии уровней 2𝑝 и 2𝑠 имеют одинаковое значение. Из уравнения Дирака также следует вырождение уровней 2𝑝_½ и 2𝑝_½. В 1946 г. Лэмб и Резерфорд обнаружили, что в действительности наблюдается небольшое дополнительное расщепление, относительная величина которого равна приблизительно 3⋅10⁶, вследствие чего уровень 2𝑝_½ оказывается сдвинутым вверх на 1057,1 Мгц. Теоретики предсказывали, что такая разность энергий может возникать из-за эффектов, обусловленных членом 𝐼, однако вплоть до работы Бете и Вайскопфа в 1947 г. бесконечности в расходящихся интегралах сводили на нет все попытки вычислить эту разность. Бете и Вайскопф рассуждали следующим образом.

Прежде всего, поскольку

1

(𝐸_𝑀-𝐸_𝑁-ℏ𝑘𝑐)

=

1

ℏ𝑘𝑐

𝐸_𝑀-𝐸_𝑁

(𝐸_𝑀-𝐸_𝑁-ℏ𝑘𝑐)

-

1

ℏ𝑘𝑐

,

(9.72)

энергия (9.71) представляет собой сумму трёх членов:

δ𝐸

=

δ𝐸'

+

δ𝐸''

+

δ𝐸'''

,

(9.73)

где

δ𝐸'

=

2π𝑒²

𝑚²𝑐²

∫

𝑑³𝑘

(2π)³𝑘²

∑

^𝑁

×

×

(𝐸

_𝑀

-𝐸

_𝑁

)

(

|𝐩

₁

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐑}

|

2

𝑁𝑀

+

|𝐩

₂

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐑}

|

2

𝑁𝑀

)

(𝐸_𝑀-𝐸_𝑁-ℏ𝑘𝑐)

,

(9.74)

δ𝐸''

=

-

2π𝑒²

𝑚²𝑐²

∫

𝑑³𝑘

(2π)³𝑘²

∑

^𝑁

(

|𝐩

₁

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐑}

|

2

𝑁𝑀

+

|𝐩

₂

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐑}

|

2

𝑁𝑀

)

,

(9.75)

δ𝐸'''

=

2π𝑒²ℏ

𝑚𝑐

∫

𝑑³𝑘

(2π)³𝑘

.

(9.76)

Член δ𝐸''' и бесконечность, связанная с кулоновским членом δ𝐸_𝑐, не зависят от состояния электрона. Они будут (мы надеемся на это) конечными в будущей теории. К массе покоя электронов эти члены дают поправку δ𝑚. Если 𝑚₀ — механическая масса (т.е. масса неэлектромагнитного происхождения), то реально наблюдаемая экспериментальная масса 𝑚=𝑚₀+δ𝑚, где δ𝑚𝑐²=δ𝐸'''+δ𝐸_𝑐.

Такую поправку к энергии покоя, составляющей часть полной энергии атома водорода, можно было, конечно, ожидать заранее, однако мы учитываем её автоматически, если все энергии связи измеряются относительно энергии полностью ионизованного состояния, когда все частицы свободны. Поправка δ𝑚 относится к покоящемуся электрону, и она совершенно не зависит от его движения или от каких-либо характеристик состояния, в котором находится этот электрон.

Выражение для δ𝐸''' можно вычислить из суммы по 𝑁 которая в соответствии с правилами матричного умножения даёт выражение (𝑝²₁+𝑝²₂)_𝑀𝑀. После интегрирования по всем направлениям вектора 𝐤 отсюда получается член ³/₂(𝐩⋅𝐩)_𝑀𝑀 и, следовательно,

δ𝐸''

=-

(𝐩⋅𝐩)_𝑀𝑀

2𝑚

8π𝑒²

3𝑚𝑐²

∫

𝑑³𝑘

(2π)³𝑘²

.

(9.77)

Опять-таки можно надеяться, что когда-нибудь это выражение удастся сделать сходящимся. Такая добавка к энергии существует уже в случае свободного электрона. Интерпретируется она следующим образом: если меняется масса, то выражение для кинетической энергии 𝑝²/2𝑚₀ следовало бы заменить выражением

𝑝²

2𝑚

≈

𝑝²

2𝑚₀

⎧

⎪

⎩

1-

δ𝑚

𝑚₀

⎫

⎪

⎭

,

(9.78)

а член δ𝐸''' как раз должен соответствовать добавке -(𝑝²/2𝑚₀)δ𝑚. Однако мы уже учитывали этот член, когда с помощью уравнения Шрёдингера вычисляли значения энергетических уровней и использовали выражение 𝑝²/2𝑚 с экспериментально наблюдаемой массой 𝑚. Поправка δ𝐸''' однозначно отождествляется с добавкой к кинетической энергии, поскольку она является единственной поправкой для движущегося свободного электрона и пропорциональна кинетической энергии ¹). Наконец, если даже интерпретация этих поправок является неверной, то при вычислении разности энергий для состояний 2𝑠 и 2𝑝 эти поправки выпадают, так как значения δ𝐸''' и δ𝐸_𝑐 одинаковы для всех состояний; одинаковыми являются и значения δ𝐸'', поскольку для состояний 2𝑠 и 2𝑝 матричный элемент (𝑝²/2𝑚)_𝑀𝑀 один и тот же.

¹) Значение δ𝑚 которое следует из формулы (9.77), равно (8π𝑒²/3𝑐²)∫𝑑³𝑘/𝑘² и не совпадает со значением δ𝑚 из выражения δ𝐸/𝑐², соответствующего неподвижному электрону. Это происходит потому, что мы ограничиваемся нерелятивистским приближением. Если провести полностью релятивистское рассмотрение, то оба способа вычисления дают одно и то же значение δ𝑚.

При вычислении поправки δ𝐸' предполагалось вполне оправданным дипольное приближение. В этом случае матричные элементы не зависят от 𝐤, и, вычислив интеграл

∫

𝑑³𝐤

𝑘²

1

𝐸_𝑀-𝐸_𝑁-ℏ𝑘𝑐

=

4π

ℏ𝑐

ln

ℏ𝑘_макс𝑐

𝐸_𝑀-𝐸_𝑁

,

(9.79)

мы получим

δ𝐸'

=

𝑒²

π𝑚²ℏ𝑐³

∑

^𝑀

⎡

⎢

⎣

ln

⎧

⎪

⎩

ℏ𝑘_макс𝑐

𝐸_𝑀-𝐸_𝑁

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

(𝐸

_𝑀

-𝐸

_𝑁

)

2

3

|𝐩

_𝑁𝑀

|²

.

(9.80)

Поскольку для атома водорода известны состояния и матричные элементы, по которым проводится суммирование в (9.80), то сумма может быть вычислена и неясным остаётся лишь вопрос о выборе значения ℏ𝑘_макс𝑐. Бете обосновал свой выбор этого параметра тем, что нерелятивистское приближение становится несправедливым в области больших значений 𝑘, и если проделать последовательно релятивистские вычисления, то значение ℏ𝑘_макс𝑐 оказалось бы, по-видимому, порядка 𝑚𝑐². Выбор значения ℏ𝑘_макс𝑐=𝑚𝑐² дал для сдвига 2𝑠_½- и 2𝑝_½-уровней величину, равную приблизительно 1000 Мгц, так что Бете мог рассчитывать, что он находится на правильном пути.

Оставалось ещё сделать релятивистский расчёт, используя дираковские волновую функцию и состояния. Только на этом пути можно было дать точное определение величины 𝑘_макс. Однако это оказалось совсем не простым делом, так как возникали трудности с идентификацией различных расходящихся членов. Если применить к этим членам процедуру обрезания при некотором максимальном значении импульса и иметь дело с полученными таким образом конечными величинами, то и тогда ситуация не проясняется, так как такая процедура не является релятивистски-инвариантной вследствие того, что с импульсом и энергией мы обращаемся здесь по-разному. (Одно следствие этого обстоятельства уже отмечалось нами в примечании на стр. 280.) Метод, устраняющий эти затруднения, был развит Швингером, который показал , как можно в явном виде сохранить релятивистскую инвариантность на протяжении всего расчёта и одновременно идентифицировать все бесконечные члены. Другой метод, разработанный Фейнманом, сводился к релятивистски инвариантной процедуре обрезания бесконечных интегралов. Рассмотрим этот метод подробнее.