Полный эффект от действия электромагнитного поля, которой на этот раз включает в себя и кулоновское взаимодействие, учитывается дополнительным членом 𝐼+𝑆𝑐 в функции действия. Релятивистская инвариантность функции 𝐼, представленной в форме, подобной (9.64), далеко не очевидна, так как в эту формулу входят переменные 𝐤 и 𝑡, а не 𝐑 и 𝑡 или 𝐤 и ω. Выразим функцию 𝐼, используя в качестве переменных частоту ω и волновое число 𝐤. Для этого прежде всего заметим, что интеграл
∞
∫
-∞
𝑒
-𝑖𝑘𝑐|τ|
𝑒
-𝑖ωτ
𝑑τ
=
2𝑖𝑘𝑐
ω²-𝑘²𝑐²+𝑖ε
,
(9.81)
или
𝑒
-𝑖𝑘|𝑡-𝑠|𝑐
=
∫
2𝑖𝑘𝑐 𝑑ω/2π
ω²-𝑘²𝑐²+𝑖ε
.
(9.82)
Если определить
𝑗(𝐤,ω)
=
∫
𝑗
𝐤
(𝑡)
𝑒
+𝑖ω𝑡
𝑑𝑡
=
∬
𝑗(𝐑,𝑡)
𝑒
-𝑖(𝐤⋅𝐑-ω𝑡)
𝑑³𝐑
𝑑𝑡
,
(9.83)
то функция 𝐼 запишется в виде
𝐼
=
-2π
∫
|𝑗1(𝐤,ω)|²+|𝑗2(𝐤,ω)|²
ω²-𝑘²𝑐²+𝑖ε
𝑑³𝐤 𝑑ω
(2π)4
.
(9.84)
Релятивистская симметрия этого выражения относительно переменных ω и 𝐤 вполне очевидна, так как выражение ω²-𝐤²𝑐² — инвариант по отношению к преобразованиям Лоренца. Однако токи входят в выражение (9.84) релятивистски несимметрично.
Нам была бы нужна релятивистски-инвариантная комбинация типа 𝑐²ρ²-𝐣⋅𝐣, так как величины ρ𝑐 и 𝐣 образуют четырёхмерный вектор. Чтобы получить такую комбинацию, положим
ρ(𝐤,ω)
=
∫
ρ
𝐤
(𝑡)
𝑒
+𝑖ω𝑡
𝑑𝑡
=
∬
ρ(𝐑,𝑡)
𝑒
-𝑖(𝐤⋅𝐑-ω𝑡)
𝑑³𝐑
𝑑𝑡
;
(9.85)
тогда часть функции действия, соответствующая кулоновскому взаимодействию, запишется в виде
𝑆
𝑐
=
∫
|ρ(𝐤,ω)|²
𝑘²
𝑑ω
=
(ωρ/𝑘)²-ρ²𝑐²
ω²-𝑘²𝑐²
𝑑ω
,
(9.86)
причём последний интеграл образуется здесь умножением числителя и знаменателя предыдущей подынтегральной функции на ω²/𝑘²-𝑐². Закон сохранения тока
-
-∂ρ
∂𝑡
=
𝛁⋅𝐣
(9.87)
запишется теперь как
ωρ(𝑘,ω)
=
𝐤⋅𝐣(𝐤,ω)
.
(9.88)
С другой стороны, если обозначить через 𝑗3 компоненту вектора 𝐣 в направлении 𝐤, то 𝑗3=ωρ/𝑘 и
𝐼+𝑆
𝑐
=
-2π
×
×
∫
|𝑗1(𝐤,ω)|²+|𝑗2(𝐤,ω)|²+|𝑗3(𝐤,ω)|²-𝑐²|ρ(𝐤,ω)|²
ω²-𝑘²𝑐²+𝑖ε
×
×
𝑑³𝐤 𝑑ω
(2π)4
.
(9.89)
Сумма трёх токовых членов представляет собой не что иное, как скалярное произведение 𝐣(𝐤,ω)⋅𝐣(𝐤,ω); поэтому выражение (9.89) — скаляр и его релятивистская инвариантность очевидна.
Учитывая неполноту наших сегодняшних представлений о квантовых законах взаимодействия, предположим, что расходящиеся интегралы можно регуляризировать простым введением в подынтегральное выражение релятивистски-инвариантного множителя
⎧
⎪
⎩
Λ²
ω²-𝑘²𝑐²-Λ²+𝑖ε
⎫²
⎪
⎭
где величина Λ — некоторая достаточно большая частота. При малых значениях величин ω и 𝑘 этот множитель близок к единице, в то время как для высоких частот он обрезает подынтегральную функцию. Очевидно, что такая операция не нарушает релятивистской инвариантности интеграла. Теперь все физические величины должны вычисляться нами с учётом того, что действие 𝐼+𝑆𝑐 содержит этот обрезающий множитель. Если, подобно лэмбовскому сдвигу они будут нечувствительны к выбору конкретного значения Λ (лишь бы это значение было достаточно велико), то теоретический результат можно считать достоверным. Если же результат расчёта существенно зависит от выбора Λ (как это имеет место, например, для разности масс нейтрального и заряженного пионов), то его количественную величину установить невозможно, поскольку обрезающая функция произвольна, а сам приём с её введением уже нельзя считать удовлетворительным.
Таково состояние квантовой электродинамики на сегодняшний день.
Задача 9.11. Покажите, что метод обрезающей функции действительно не является вполне удовлетворительным теоретически. Для этого покажите, что величина γ, вычислявшаяся в § 4 гл. 9, изменяется после введения обрезания, тогда как вероятность излучения реального фотона не должна изменяться (для него ω=𝑘𝑐 и функция обрезайия точно равна единице). Таким образом, нарушился бы баланс вероятностей и сумма их по всем возможным событиям (фотон излучился или не излучился) стала бы отличной от единицы.
Трудность, возникающая в связи с этой проблемой, до сих пор остаётся неразрешённой. Нам пока не известно никакой модификации квантовой электродинамики в области высоких частот, которая одновременно сделала бы все результаты конечными, не нарушала бы релятивистской инвариантности и сохраняла значение суммы вероятностей всех альтернатив равным единице.
Задача 9.12. Используя соотношение
∫
𝑒
𝑖(𝐤⋅𝐑-ω𝑡)
𝑐𝑑³𝐤 𝑑ω/(2π)4
(2π)4(ω²-𝑘²𝑐²+𝑖ε)
=
𝑖
(𝑡²𝑐²-𝑅²+𝑖ε)(2π)²
=
=
1
4π
δ
+
(𝑡²𝑐²-𝑅²)
.
(9.90)
перейдите в функции действия 𝐼+𝑆𝑐 к пространственным координатам. [Замечание: функцию -π𝑖(𝑥-𝑖ε) часто записывают как δ+(𝑥) мы тоже пользуемся этим обозначением.] В результате должно получиться
𝐼+𝑆
𝑐
=
1
2𝑐
∫
[𝑐²
ρ(𝐑
1
,𝑡
1
)
ρ(𝐑
2
,𝑡
2
)
-
𝐣(𝐑
1
,𝑡
1
)
𝐣(𝐑
2
,𝑡
2
)
]×
×
δ
+
[
(𝑡
1
-𝑡
2
)²
𝑐²
-
|𝐑
1
-𝐑
2
|²
]
𝑑³𝐑
1
𝑑³𝐑
2
𝑑𝑡
1
𝑑𝑡
2
.
(9.91)
§ 7. Излучение света
В § 4 гл. 9 мы нашли выражение для амплитуды вероятности того, что поведение материальной системы зависит от её взаимодействия с электромагнитным полем; это выражается формулой (9.60) и последующими выкладками. Однако наш вывод относился лишь к специальному случаю, когда начальное и конечное состояния поля являются вакуумными и не содержат фотонов. Мы видели, что при этом действие 𝑆част в интегралах по траекториям следует заменять на эффективное действие 𝑆'част=𝑆част+𝐼.
