В общем случае фотоны поля присутствуют как в начале, так и в конце процесса. Для примера рассмотрим случай, когда в начальном состоянии нет ни одного фотона, а в конечном участвует один фотон с импульсом ℏ𝐋 и поляризацией 1. Единственное изменение, которое при этом вносится в наши предыдущие расчёты, касается интеграла для действия 𝑆, т.е. выражения (9.61). Теперь мы должны пользоваться соотношением
𝑋'
=
π
𝑘
∫
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
(𝑆
част
+𝑆
поле
)
⎤
⎥
⎦
𝒟𝑎
1
𝑘
𝒟𝑎
2
𝑘
,
(9.92)
где интегрирование по траекториям выполняется между начальным состоянием вакуума и конечным, содержащим то же состояние вакуума плюс один фотон. В этом случае каждый осциллятор, кроме осциллятора 1𝐋, переходит из начального состояния 𝑛=0 в такое же конечное состояние; поэтому интеграл 𝑋1𝐤 для всех этих осцилляторов не изменяется. Изменится лишь вклад от осциллятора 1𝐋, который теперь становится равным
𝑋
'
1𝐤
=
∫
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
ℏ
∫
⎡
⎢
⎣
√
4π
(
𝑗
*
1𝐋
𝑎
1𝐋
+
𝑗
1𝐋
𝑎
*
1𝐋
)+
+
𝑎̇
*
1𝐋
𝑎̇
1𝐋
-
𝑘²𝑐²
𝑎
*
1𝐋
𝑎
1𝐋
-
ℏ𝐋𝑐
2
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑡
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝒟𝑎
1𝐋
(9.93)
Это выражение такого же типа, как и выражение (9.63), за исключением того, что переход осциллятора совершается между состояниями 𝑛=0 и 𝑛=1, тогда как ранее конечное состояние считалось также вакуумным. В § 9 гл. 8 мы рассмотрели поведение гармонического осциллятора под действием внешней силы; теперь воспользуемся этим результатом и запишем
𝑋
'
1𝐤
=
⎧
⎪
⎩
⎡
⎢
⎣
2πℏ
𝐿𝑐
⎤½
⎥
⎦
∫
𝑗
1𝐋
𝑒
𝑖𝐿𝑐𝑡
𝑑𝑡
⎫
⎪
⎭
𝑋
1𝐤
,
(9.94)
где 𝑋1𝐤 — вычислявшееся выше выражение для перехода из вакуумного в вакуумное состояние. Мы видим, что появление одного фотона в конечном состоянии выражается в появлении множителя
⎡
⎢
⎣
2πℏ
𝐿𝑐
⎤½
⎥
⎦
∫
𝑗
1𝐋
𝑒
𝑖𝐿𝑐
𝑑𝑡
Поэтому для амплитуды вероятности мы можем записать
Амплитуда
=
⎡
⎢
⎣
2πℏ
𝐿𝑐
⎤½
⎥
⎦
∫
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
(𝑆
част
+𝐼)
⎤
⎥
⎦
∫
𝑗
1𝐋
exp(𝑖𝐿𝑐𝑡)
𝑑𝑡
𝒟𝑞
.
(9.95)
Аналогичное выражение, которое мы ранее получили с помощью теории возмущений, эквивалентно матричному элементу перехода
⎡
⎢
⎣
2πℏ
𝐿𝑐
⎤½
⎥
⎦
∫
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
𝑆
част
⎫
⎪
⎭
∫
𝑗
1𝐋
exp(𝑖𝐿𝑐𝑡)
𝑑𝑡
𝒟𝑞
.
(9.96)
Очевидно, что полученный результат точно совпадает с результатом теории возмущений, если при вычислении амплитуды перехода вместо действия 𝑆'част применить полное эффективное действие 𝑆'част=𝑆част+𝐼.
Выше было показано, что введение действия 𝐼 приводит к небольшому изменению энергетических уровней; формально значения энергий становятся в этом случае комплексными. Последнее означает, что излучению соответствует спектральная линия некоторой конечной ширины, называемой естественной шириной линии. Не будем углубляться далее в детали всех этих вычислений и оставим их обсуждение, как и обобщение на большее число поглощаемых и излучаемых фотонов, тем, кто захочет более детально изучить эти специальные вопросы квантовой электродинамики.
§ 8. Краткие выводы
Обозрение подхода в целом. В этой главе мы довольно много занимались исследованием квантованного электромагнитного поля. Стоит потратить некоторое время и вернуться назад, чтобы подчеркнуть основные идеи и полученные результаты.
Выделение кулоновского взаимодействия и применение бегущих волн для наших целей являются лишь техническими приёмами; наиболее значительный результат содержится в выражении (9.89) или в эквивалентном ему (9.91). Рассмотрим этот результат с более общей точки зрения, приняв за основу выражение (9.91). Допустим, что наша система может быть описана с помощью действия
𝑆
=
𝑆
1
(𝐪)
+
𝑆
2
(𝐪,𝐀,φ)
+
𝑆
3
(𝐀,φ)
,
(9.97)
где член 𝑆1(𝐪) относится к веществу, член 𝑆2 — к взаимодействию вещества и поля, а член 𝑆3 — лишь к полю. Символом 𝐪 обозначены здесь координаты материальных тел, а поле описывается координатами 𝐀 и φ. Тогда амплитуда вероятности какого-либо события получается в результате вычисления интеграла типа
𝐾
=
∫
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
ℏ
[
𝑆
1
(𝐪)
+
𝑆
2
(𝐪,𝐀,φ)
+
𝑆
3
(𝐀,φ)
]
⎫
⎬
⎭
𝒟𝐪
𝒟𝐀
𝒟φ
,
(9.98)
причём вопрос о граничных условиях задачи остаётся открытым.
Будем далее предполагать, что в начальном и конечном состояниях поля фотоны отсутствуют (т.е. поле переходит из вакуумного состояния снова в вакуумное). Такой выбор граничных условий мы сокращённо обозначим как вак-вак. Затем мы всегда будем интегрировать сначала по переменной 𝐪, а лишь после этого по 𝐀 и φ. То, что мы делали до сих пор, соответствовало обратному порядку интегрирования: сначала по 𝐀 и φ, а в качестве заключительного шага по 𝐪.
Обычно действие 𝑆2(𝐪,𝐀,φ) линейно зависит от переменных поля 𝐀 и φ и может быть записано в виде
𝑆
2
=
∫
[
ρ(𝐑,𝑡)
φ(𝐑,𝑡)
-
𝐣(𝐑,𝑡)
⋅
𝐀(𝐑,𝑡)
]
𝑑³𝐑
𝑑𝑡
,
(9.99)
