где ρ и 𝐣 — соответственно плотности заряда и тока, зависящие только от 𝐪. Тогда интеграл по 𝐀 и φ в формуле (9.98) гауссов и легко вычисляется.
Основной смысл соотношения (9.91) заключается в том, что оно даёт нам значение этого интеграла, а именно
вак
∫
вак
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
ℏ
⎡
⎢
⎣
𝑆
3
(𝐀,φ)
+
∫
(ρφ-𝐣⋅𝐀)
𝑑³𝐑
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
×
×
𝒟𝐀
𝒟φ
=
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
𝐽
⎫
⎪
⎭
,
(9.100)
где действие 𝐽, которое в формуле (9.91) мы обозначали как 𝐼+𝑆𝑐, равно
𝐽
=
𝑖
∫
[𝑐²
ρ(𝐑
1
,𝑡
1
)
ρ(𝐑
2
,𝑡
2
)
-
𝐣(𝐑
1
,𝑡
1
)
⋅
𝐣(𝐑
2
,𝑡
2
)
]δ
+
[
(𝑡
1
-𝑡
2
)²
𝑐²
-
-
|𝐑
1
-𝐑
2
|²
]
𝑑³𝐑
1
𝑑³𝐑
2
𝑑𝑡
1
𝑑𝑡
2
(9.101)
для любых функций ρ и 𝐣, зависящих от 𝐑 и 𝑡. В импульсном пространстве соотношение (9.101) запишется в виде (9.89).
Функции ρ и 𝐣, которые входят в соотношение (9.98), зависят от 𝐪 и 𝐪̇; поэтому мы получаем результат в виде
𝐾
(вак-вак)
=
∫
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
ℏ
[𝑆
1
(𝐪)+𝐽(𝐪)]
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝒟𝐪
,
(9.102)
где функционал 𝐽(𝐪) определяется выражением (9.101), куда предварительно должны быть подставлены требуемые значения ρ и 𝐣. Таким образом, соотношение (9.102) содержит все основные результаты, относящиеся к переходам между двумя вакуумными состояниями. Изменение действия, относящегося к частицам, под влиянием поля мы учли добавлением функционала 𝐽(𝐪). Таким образом, главным результатом, получаемым из соотношений (9.100) и (9.101), является эта наиболее важная формула электродинамики.
Общая формулировка квантовой электродинамики. Интересно также провести исследование в другом направлении, интегрируя вначале по всем координатам материальных тел, а лишь потом по полевым переменным. Мы ограничимся кратким описанием того, что при этом получается. Если в выражении (9.98) начинать с интегрирования по 𝐪, то множитель exp[(𝑖/ℏ)𝑆3] можно опустить, так как он не зависит от 𝐪. Вводя обозначение
𝑇[𝐀,φ]
=
∫
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
ℏ
[
𝑆
1
(𝐪)
+
𝑆
2
(𝐪,𝐀,φ)
]
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝒟𝐪
,
(9.103)
мы можем (9.98) переписать в следующем виде:
𝐾
=
∫
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
𝑆
3
(𝐀,φ)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝑇[𝐀,φ]
𝒟𝐀
𝒟φ
.
(9.104)
Это выражение описывает амплитуду вероятности определённого движения частицы, причём поле также совершает определённый переход из одного состояния в другое. Как и все другие амплитуды вероятности, эта амплитуда представляет собой сумму по всем возможным альтернативам. Каждая отдельная альтернатива выражается произведением амплитуды 𝑇[𝐀,φ], относящейся к движению частицы в некотором поле с определёнными потенциалами 𝐀 и φ, и амплитуды вероятности exp(𝑖𝑆3/ℏ) того, что значения потенциалов поля именно таковы; суммирование производится по всем возможным полям 𝐀 и φ.
Этот закон, выраженный математически соотношением (9.104), является фундаментальным принципом всей квантовой электродинамики. Его формулировка остаётся в силе даже тогда, когда функционал 𝑇[𝐀,φ], т.е. амплитуду движения частицы во внешнем поле (𝐴,φ), нельзя представить в виде интеграла по траекториям. Так, например, для релятивистской частицы со спином, описываемой уравнением Дирака, этот функционал нельзя выразить в виде простого интеграла по траекториям с какой-либо разумной функцией действия. Однако выражение для функционала 𝑇[𝐀,φ] можно получить и с помощью других методов, например из уравнения Дирака, а затем найти амплитуду 𝐾 из соотношения (9.104).
Формулируя основной закон квантовой электродинамики (9.104), мы рассматривали поведение электромагнитного поля отдельно от поведения частицы (или системы частиц), с которой это поле взаимодействует. Сам факт, что такое разделение может быть проделано, является весьма важным результатом. Например, функционал 𝑇[𝐀,φ] может быть связан с поведением атомного ядра, свойства которого известны неполностью. Однако для квантового решения электродинамических задач нам вполне достаточно знать лишь поведение этого ядра в известном внешнем поле.
Разумеется, для непосредственного применения формулы (9.104) необходимо знать функционал 𝑇 при всех значениях переменных 𝐀 и φ; к сожалению, такая подробная информация редко имеется в нашем распоряжении. Но и тогда, когда мы располагаем точным выражением для функционала, само вычисление интеграла по траекториям может вызвать трудности. Все же практически эта формула очень полезна. В некоторых случаях функционал 𝑇 может быть аппроксимирован экспонентой типа (9.99) с линейной зависимостью показателя от переменных 𝐀 и φ. Тогда интересующий нас результат следует непосредственно из общих выражений (9.100) и (9.101). Чаще функционал 𝑇 можно представить в виде суммы или интеграла экспонент, зависящих от различных величин ρ и 𝐣; тогда формула (9.104) приобретает вид соответствующей суммы или интеграла от выражений, содержащих экспоненту exp [(𝑖/ℏ)𝐉], где 𝐉 определяется соотношением (9.101) после подстановки надлежащих значений ρ и 𝐣.
В большинстве практически важных случаев функционал 𝑇 можно представить в виде степенного ряда по потенциалам 𝐀 и φ. Если считать влияние поля на движение частицы достаточно малым, то несколько первых членов этого разложения могут быть вычислены методами теории возмущений. Найдя таким образом функционал, подставим его в (9.104) и проинтегрируем по 𝐀 и φ; в результате получится разложение амплитуды 𝐾 по возмущениям (по степеням параметра 𝑒²/ℏ𝑐). Необходимые для этого интегралы вида
∫
𝐴
𝑖
(𝐑
1
,𝑡
1
)
𝐴
𝑗
(𝐑
2
,𝑡
2
)
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
