§ 4. Одномерный кристалл

Фиг. 8.2. Модель одномерного «кристалла», в которой массы частиц расположены вдоль прямой и соединены между собой упругими связями —«пружинами».

Простая модель. Можно представлять себе кристалл как большую многоатомную молекулу, каким-то образом упорядоченную в трёхмерном объёме. Имеет смысл начать рассмотрение этой молекулы с изучения простейшей одномерной модели, состоящей из одинаковых атомов, равномерно расположенных вдоль некоторой линии, как показано на фиг. 8.2. Положим массу каждого атома равной единице и обозначим смещение 𝑗-го атома от его положения равновесия через 𝑞_𝑗. Предположим, что движение атомов может происходить лишь вдоль линии, по которой они расположены, т.е. ограничимся рассмотрением их продольного движения. Допустим далее, что каждый атом взаимодействует лишь с соседним атомом, что потенциал взаимодействия равен 𝑉(𝑅) и зависит только от расстояния 𝑅 между атомами (т.е. что атомы как бы соединены друг с другом пружинами). При равновесии расстояние между атомами соответствует, очевидно, минимуму потенциала. Примем этот минимум за нуль отсчёта энергии. Если Δ𝑅 — величина смещения атома от положения равновесия, то можно разложить этот потенциал в степенной ряд по Δ𝑅 таким же образом, как это делалось в выражении (8.32). При этом ограничимся такими малыми смещениями, чтобы все члены порядка выше второго в разложении можно было отбросить. Смещение атомов 𝑗 и (𝑗+1) от положения равновесия можно написать так: 𝑞_𝑗+1 - 𝑞_𝑗 = Δ𝑅_𝑗,𝑗+1. Обозначим вторую производную потенциала по величине смещения через ν² (величина, одинаковая для всех атомов системы). Тогда потенциальная энергия, связанная с таким смещением, равна

𝑉

_𝑗,𝑗+1

=

1

2

ν²

(𝑞

_𝑗+1

- 𝑞

_𝑗

)²

,

(8.66)

и лагранжиан может быть записан как

𝐿

=

_𝑁

∑

^𝑗=1

1

2

𝑞̇

₂

^𝑗

-

_𝑁-1

∑

^𝑗=1

ν²

2

(𝑞

_𝑗+1

- 𝑞

_𝑗

)²

.

(8.67)

Если положения первого и последенего атомов не фиксированы, то член с 𝑗=𝑁 в выражении для потенциальной энергии должен быть опущен.

Вытекающие из этого лагранжиана уравнения движения атомов в одномерной модели имеют вид

𝑞̈

_𝑗

=

ν²

[

(𝑞

_𝑗+1

- 𝑞

_𝑗

)

-

(𝑞

_𝑗

- 𝑞

_𝑗-1

)

]

(8.68)

для всех 𝑗 за исключением крайних значений 𝑗=1 и 𝑛=𝑁. Тот факт, что частицы, расположенные в концах системы, должны рассматриваться отдельно, в большинстве задач приводит лишь к незначительным трудностям. Обычно интересуются такими свойствами движений (а тела можно считать настолько большими), что влиянием поверхностных (или граничных) эффектов можно пренебречь. В таких случаях основные результаты действительно не будут зависеть от реальных граничных условий, т.е. от того, будут ли граничные атомы свободными или связанными, и т.д. Чтобы вообще исключить эту проблему, в теоретической физике, используется предположение о существовании особой системы простых граничных условий, так называемых периодических граничных условий, так что необходимость в рассмотрении граничных точек отпадает. Досадно, конечно, что такие специальные граничные условия в действительности выполняются редко (если они вообще выполняются), однако для явлений, которые не зависят от граничных эффектов, этот приём вполне оправдан.

Смысл его состоит в том, что цепочка атомов продолжается и дальше, за 𝑁-й атом, причём предполагается, что смещение (𝑁+𝑗)-го атома всегда точно совпадает со смещением 𝑗-го атома. Таким образом, граничное условие можно записать как

𝑞

_𝑁+1

=

𝑞

₁

,

𝑞̇

_𝑁+1

=

𝑞̇

₁

.

(8.69)

Такое граничное условие заведомо будет выполняться, если исходную цепь атомов замкнуть в кольцо, подобно ожерелью из жемчужин. Однако в трёхмерном случае это уже невозможно, и граничные условия необходимо рассматривать только лишь как некоторый искусственный приём.

Таков смысл наших специальных граничных условий. Более общие случаи, например когда крайний атом связан с твёрдой стенкой или же остаётся свободным и т.д., сопровождаются отражением волн, пробегающих по системе. Такого отражения не будет лишь в случае, когда крайний атом взаимодействует с атомом другой системы, имеющей аналогичные характеристики.

Таким образом, наши граничные условия можно сравнить с введением некоторой линии, сопротивление которой подавляет отражение. Подобное сопротивление, по сути дела, эквивалентно наличию некоторой бесконечной дополнительной линии. В нашем случае мы согласуем один конец системы с другим, связывая её в кольцо. Эти граничные условия мы называли периодическими, поскольку все происходящее в 𝑘-й точке системы повторяется снова в 𝑁+𝑘-й точке, ещё раз в 2𝑁+𝑘-й и т.д. При таком граничном условии уравнение (8.68) удовлетворяется для всех атомов системы.

Решение классических уравнений движения. Предположим, что смещение 𝑞 периодически повторяется с частотой ω. Тогда нам нужно решить систему уравнений

ω²

𝑞

_𝑗

=

ν²

(

𝑞

_𝑗+1

-

2𝑞

_𝑗

+

𝑞

_𝑗-1

).

(8.70)

Мы можем свернуть эти уравнения в определитель и преобразовать полученное детерминантное уравнение так, чтобы применить для отыскания решения известные теоремы математики. Однако ясно, что данные уравнения могут быть решены непосредственно, и это легче всего проделать указанным ниже способом.

Договоримся, что символ 𝑖 будет означать лишь √-1, и не будем применять его для обозначения индексов. Решение имеет форму

𝑞

_𝑗

=

𝐴𝑒

^{𝑖(𝑗β-ω𝑡)}

=

𝑎

_𝑗

𝑒

^-𝑖ω𝑡

,

(8.71)

где β — некоторое постоянное. Это решение может быть проверена непосредственной подстановкой его в уравнения (8.70). Частота здесь определяется выражением

ω²

=

ν²

(

𝑒

^𝑖β

-2+

𝑒

^-𝑖β

)

=

4ν²sin²

β

2

.

(8.72)

Мы определили величину ω, выразив её через β. Однако некоторые значения β здесь выброшены. Периодическое граничное условие требует, чтобы β=2πα/𝑁 где α=0, 1, 2,…,𝑁-1 (случай α=0 соответствует простому сдвигу цепочки, и мы можем, если пожелаем, не рассматривать его; более того, случай α=𝑁+α' совпадает с тем, что происходит при α=α'). Таким образом, для любого частного значения α можно выразить частоту в виде

ω

_α

=

2ν sin

πα

𝑁