(8.73)
Амплитуда 𝑗-координаты, соответствующая этой частоте, равна
𝑎
𝑗α
=
𝐴𝑒
𝑖2πα𝑗/𝑁
.
(8.74)
Постоянные 𝑎𝑗α, определённые последним соотношением,— комплексные числа. Вместо них можно было бы ввести действительные величины, комбинируя решения для α и -α (или для α и 𝑁-α). Однако нам удобнее оставить их в комплексной форме. Кроме того, нам будет удобно рассматривать как положительные, так и отрицательные значения α; при этом следует учесть, что если 𝑁 является нечётным, то для рассмотрения области изменения α лучше взять пределы от -½(𝑁-1) до +½(𝑁-1), нежели от 0 до 𝑁-1.
Относительные смещения атомов цепочки зависят от величины α. Например, для двух значений α, одно из которых мало, а другое соответствует величинам порядка 𝑁/2 мы получим различные картины движения, как это показано на фиг. 8.3.
Фиг. 8.3. Два случая колебаний.
Сдвиг атомов вдоль цепочки изображается смещениями по ординате от линии равновесного положения атомов 𝑗, равномерно распределёнными вдоль оси абсцисс. Наверху длина волны велика по сравнению с расстоянием между атомами (α мало); внизу α=𝑁/2 и смещения уже не имеют вида гладкой синусоидальной волны.
Относительная величина постоянных 𝑎𝑗α определена выражением (8.74), но у нас ещё остаётся свобода в выборе нормировки, т.е. в определении константы 𝐴. Найдём её значение из нормировочного соотношения, аналогичного соотношению (8.48), т.е. выберем 𝐴 так, чтобы
𝑁
∑
𝑗=1
𝑎
*
𝑗α
𝑎
𝑗β
=
δ
αβ
;
(8.75)
отсюда следует
𝐴
=
1
√𝑁
(8.76)
Теперь мы уже можем по аналогии с выражением (8.42) выразить различные моды через нормальные координаты:
𝑄
α
=
𝑁
∑
𝑗=1
𝑎
𝑗α
𝑞
𝑗
=
𝑁
∑
𝑗=1
𝑞𝑗
√𝑁
𝑒
𝑖𝑗⋅2πα/𝑁
,
(8.77)
где
𝑞
𝑗
=
𝑁
∑
α=1
𝑐
α
𝑎
𝑗α
exp(-𝑖ω
α
𝑡)
.
Эти координаты будут также комплексными, но поскольку при подстановке этих величин лагранжиан должен быть действительным, запишем его в виде
𝐿
=
1
2
𝑁
∑
α=1
(
𝑄̇
*
α
𝑄̇
α
-
ω
2
α
𝑄
*
α
𝑄
α
).
(8.78)
Видимо, подобное использование комплексных координат 𝑄 нуждается в некоторых объяснениях. Поскольку физические координаты 𝑞𝑗 — действительные величины, то соотношение (8.77) подразумевает, что 𝑄*α=𝑄-α Поэтому, хотя для определения каждой комплексной переменной 𝑄α необходимо иметь два действительных числа, т.е. всего 2𝑁 чисел, нам из них нужны только 𝑁 независимых чисел. Если бы мы предпочли пользоваться действительными координатами, то можно было ввести их следующим образом:
𝑄
α
=(
𝑄
𝑐
α
-
𝑖𝑄
𝑠
α
)
1
√2
,
𝑄
𝑐
α
=
1
√2
(
𝑄
α
+
𝑄
-α
)
,
(8.79)
𝑄
𝑠
α
=
=
𝑖
√2
(
𝑄
α
-
𝑄
-α
)
,
(8.80)
где α изменяется теперь уже только от 0 до 𝑁-1. В этом случае такие, например, выражения, как кинетическая энергия, будут иметь вид
1
2
[(
𝑄̇
𝑐
α
)²
+(
𝑄̇
𝑠
α
)²
]=
𝑄̇
α
𝑄̇
-α
=
𝑄̇
α
𝑄̇
*
α
.
(8.81)
Множитель ½ возникает в выражении (8.78), поскольку мы суммируем по всем значениям α, положительным и отрицательным, учитывая при этом каждый член дважды, так как 𝑄*-α𝑄-α = 𝑄α𝑄*α. Таким образом, квадратичное выражение, полученное ранее для действительных величин, теперь выглядит уже как произведение сопряжённых комплексных чисел [см., например, (8.75)].
Задача 8.3. Покажите, что 𝑄𝑐α и 𝑄𝑠α — нормальные координаты, представляющие соответственно стоячие волны √2cos(2πα𝑗/𝑁) и √2sin(2πα𝑗/𝑁), т.e. что для нечётных 𝑁
𝑞
𝑗
=
½(𝑁-1)
∑
α=1
𝑄
𝑐
α
√
2
cos
2πα𝑗
𝑁
+
½(𝑁-1)
∑
α=1
𝑄
𝑠
α
√
2
sin
2πα𝑗
𝑁
.
(8.82)
Задача 8.4. Выразив начальную волновую функцию через координаты 𝑄𝑐α и 𝑄𝑠α, покажите, что волновая функция основного состояния, соответствующего лагранжиану (8.78), может быть представлена в виде
Φ=𝐴 exp
⎧
⎪
⎩
-
1
2
𝑁
∑
α=1
𝑄
*
α
𝑄
α
ω
α
⎫
⎪
⎭
,
(8.83)
где 𝐴 — постоянная.
Задача 8.5. Матричный элемент перехода, в котором используется одна и та же волновая функция для начального и конечного состояний, называется ожидаемой величиной 1). Таким образом, ожидаемая величина функционала 𝐹 в состоянии Φ, заданном выражением (8.83), равна
⟨Φ
0
|𝐹|Φ
0
⟩
=
∫
…
∫
Φ
*
0
