ψ(𝐑,𝑡)
=
𝐩
∫
⎡
⎢
⎣
exp
𝑖
ℏ
(𝐩⋅𝐑)
⎤
⎥
⎦
φ(𝐩,𝑡)
𝑑³𝐩
(2πℏ)³
.
(5.8)
Эту формулу можно истолковать на языке тех же физических понятий, которые мы уже использовали для описания структуры других амплитуд. Амплитуда вероятности того, что частица находится в точке 𝐑, представляется в виде суммы по всем возможным альтернативам. В данном случае эти альтернативы соответствуют произведению двух членов. Один из них — амплитуда вероятности того, что импульс частицы равен 𝐩, т.е. амплитуда ψ(𝐩). Другой — экспонента exp(𝑖𝐩⋅𝐑/ℏ) представляет собой амплитуду вероятности того, что если импульс равен 𝐩, то частица находится в точке 𝐑. Этот второй множитель не является для нас новым, так как мы уже обсуждали подобное выражение в задаче 4 гл. 3.
Заметим, что в преобразовании (5.7) показатель у экспоненты отрицательный. Это обстоятельство можно истолковать таким же образом, как это делалось в § 3 гл. 4.
Следовательно, exp(-𝑖𝐩⋅𝐑/ℏ) представляет собой амплитуду вероятности того, что если частица находится в точке 𝐑, то её импульс равен 𝐩.
Ядро в импульсном представлении. Мы показали (см. § 4 гл. 3), как с помощью ядра, которое описывает движение частицы в промежуточные моменты времени, находится волновая функция для некоторого момента времени 𝑡2, если известна волновая функция для более раннего момента времени 𝑡1 а именно
ψ(𝐑
2
,𝑡
2
)
=
𝑡2
∫
𝑡1
𝐑1
∫
𝐾(𝐑
2
,𝑡
2
;𝐑
1
,𝑡
1
)
ψ(𝐑
1
,𝑡
1
)
𝑑³𝐑
1
𝑑𝑡
1
.
(5.9)
Существует также выражение для ядра в импульсном пространстве, которое можно было бы использовать в аналогичной формуле. Тогда амплитуда в пространстве импульсов для момента времени 𝑡2 окажется выраженной через амплитуду, относящуюся к более раннему моменту времени 𝑡1:
φ(𝐩
2
,𝑡
2
)
=
𝑡2
∫
𝑡1
𝐩1
∫
𝒦(𝐩
2
,𝑡
2
;𝐩
1
,𝑡
1
)
φ(𝐩
1
,𝑡
1
)
𝑑³𝐩1
(2πℏ)³
𝑑𝑡
1
.
(5.10)
Подставив в соотношение (5.9) значение ψ(𝐑1,𝑡1) из формулы (5.8) и выполнив, как это указано в (5.57), преобразование Фурье от функции ψ(𝐑2,𝑡2) к φ(𝐩2,𝑡2), мы выразим ядро в импульсном представлении через его значение в координатном представлении
𝒦(𝐩
2
,𝑡
2
;𝐩
1
,𝑡
1
)
=
=
𝐑1
∫
𝐑2
∫
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐩2⋅𝐑2
𝐾(𝐑
2
,𝑡
2
;𝐑
1
,𝑡
1
)
𝑒
+(𝑖/ℏ)𝐩1⋅𝐑1
𝑑³𝐑
1
𝑑³𝐑
2
.
(5.11)
Например, ядро, описывающее движение свободной частицы в импульсном пространстве, имеет вид
𝒦
0
(𝐩
2
,𝑡
2
;𝐩
1
,𝑡
1
)
=
=
𝐑1
∫
𝐑2
∫
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐩2⋅𝐑2
𝐾
0
(𝐑
2
,𝑡
2
;𝐑
1
,𝑡
1
)
𝑒
(𝑖ℏ)𝐩1⋅𝐑1
𝑑³𝐑
1
𝑑³𝐑
2
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
(2πℏ)³δ³
(𝐩
1
-𝐩
2
)
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖|𝐩1|²
2ℏ𝑚
(𝑡
2
-𝑡
1
)
⎤
⎥
⎦
при
𝑡
2
>𝑡
1
,
0
при
𝑡
2
<𝑡
1
.
(5.12)
Последнее равенство следует из условия (4.28). То, что в это выражение входит дельта-функция, доказывает постоянство импульса свободной частицы, как это видно из фиг. 5.3. Однако фаза волновой функции в импульсном пространстве непрерывно изменяется благодаря множителю exp(-𝑖𝐸𝑡/ℏ), где 𝐸=𝑝²/2𝑚. Этот вывод, следующий из формулы (5.12), можно непосредственно получить также из соотношения (4.64).
Фиг. 5.3. Ядро, описывающее движение свободной частицы в импульсном и координатном пространствах.
В импульсном представлении существует единственная траектория, двигаясь по которой частица достигает значения импульса 𝑝2 в момент времени 𝑡2. Эта траектория должна начинаться со значения импульса 𝑡1=𝑡2 Все другие траектории не дают вклада в ядро.
Ядро (5.12) открывает возможность для более простого описания свободной частицы, чем ядро в координатном представлении. В общем случае, когда частица не является свободной, а движется под воздействием потенциала, ядро в импульсном представлении не имеет такого простого вида. Однако влияние потенциала можно рассмотреть методами теории возмущений, и выражение в этом случае снова будет достаточно простым.
Преобразование энергия — время. Для многих приложений, в частности в релятивистской квантовой механике, оказывается более удобным рассматривать пространственные и временные координаты симметричным образом. В этом случае к преобразованию перехода от координатного к импульсному представлению присоединяется также преобразование время → энергия. Таким образом, полное преобразование ядра будет иметь вид
𝑘(𝐩
2
,𝐸
2
;𝐩
1
,𝐸
1
)
=
𝐑1
∫
𝐑2
∫
∞
∫
-∞
∞
∫
𝑡1
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐩2⋅𝐑2
