𝑃(𝑝)𝑑𝑝

=

𝑑𝑝

2πℏ

⎪

⎪

⎪

_∞

∫

^-∞

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖𝑚𝑦²

2ℏ𝑇

-

𝑖𝑝𝑦

ℏ

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝑓(𝑦)𝑑𝑦

⎪²

⎪

⎪

.

(5.4)

Ранее мы предположили, что в начальный момент времени частица должна находиться в некоторой ограниченной области ±𝑏 - около начала координат. Это означает, что начальная волновая функция 𝑓(𝑦) спадает до нуля для значений 𝑦, больших по абсолютной величине, чем 𝑏. Далее, при возрастании 𝑇 величина 𝑖𝑚𝑏²/2ℏ𝑇 становится пренебрежимо малой. Так как значения 𝑦, большие по абсолютной величине, чем 𝑏, не дают вклада в интеграл (5.4), то вероятность 𝑃(𝑝)𝑑𝑝 будет приближённо равна произведению 𝑑𝑝/2πℏ на квадрат модуля амплитуды ¹)

φ(𝑝)

=

_+∞

∫

^-∞

exp

⎧

⎪

⎩

-𝑖𝑝𝑦

ℏ

⎫

⎪

⎭

𝑓(𝑦)𝑑𝑦

.

(5.5)

¹) Многие авторы предпочитают включать множитель 1/2πℏ в определение амплитуды ψ(𝑝), куда он входит как 1/√2πℏ Однако, следуя изложенному в § 3 гл. 4, мы предпочитаем писать амплитуду в той форме, которую уже применяли, и при этом помнить, что элемент объёма в импульсном пространстве у нас всегда включает в себя множитель 1/2πℏ для каждой степени свободы. Например, элемент объёма в трёхмерном импульсном пространстве равен 𝑑³𝐩/(2πℏ)³.

Несколько другая интерпретация этого результата даётся на фиг. 5.1 и 5.2.

Фиг. 5.1. Амплитуда вероятности появления частицы, движущейся свободно.

В точке 𝑥 в интервале времени 𝑇 она является произведением двух функций. Одна из них 𝑓(𝑦) — амплитуда вероятности того, что частица начинает движение из некоторой точки 𝑦 как это показано пунктирной линией. Вторая — ядро для свободной частицы 𝐾(𝑥,𝑇;𝑦,0) — является амплитудой перехода из точки 𝑦 в точку 𝑥; она представлена синусоидой с медленно изменяющейся длиной волны. Конечное положение 𝑥 мы рассматриваем здесь как начальную точку изменения этой функции, в то время как 𝑦 у нас — переменная величина. Если расстояние точки 𝑥 от начала координат значительно больше расстояния между точками -𝑏 и +𝑏, где функция 𝑓(𝑦) не равна нулю, то длина волны остаётся практически постоянной.

Приближённо её можно записать в виде exp[(-𝑖/ℏ)(𝑚𝑥/𝑇)𝑦] В окончательном выражении для амплитуды вероятности достижения частицей точки 𝑥 эти функции перемножаются и произведение их интегрируется по 𝑦. Так как все частицы проходят примерно одинаковое расстояние за одно и то же время 𝑇 (опять-таки в предположении 𝑥≫𝑏), это выражение совпадает с амплитудой вероятности того, что импульс частиц равен 𝑝=(𝑚𝑥/𝑇).

Фиг. 5.2. Случай периодической амплитуды.

Если приближённо амплитуду 𝑓(𝑦) считать периодической функцией с такой же длиной волны, что и у соответствующего ядра 𝐾, как показано на фиг. а, то интеграл от произведения этих двух функций становится очень большим. Это означает, что с большой вероятностью импульс равен 𝑚𝑥/𝑇.

Если, с другой стороны, предположить, что длины волн различаются на некоторую новую функцию 𝑓'(𝑦) как показано на фиг. б, то после перемножения вклады в интеграл от различных значений 𝑦 будут взаимно уничтожаться. Вероятность того, что импульс равен 𝑚𝑥/𝑇, в этом случае мала.

Если выбрать, как это показано на фиг. в, другое конечное положение 𝑥' то в область (-𝑏,𝑏) попадёт совсем другая часть кривой 𝐾. При подходящем выборе 𝑥' длина волны, соответствующая этой части кривой 𝐾 совпадает с длиной волны для функции 𝑓'(𝑦) и величина вероятности в этом случае снова возрастает. Другими словами, частицы с большой вероятностью будут иметь новое значение импульса 𝑝=𝑚𝑥'/𝑇.

Выражение для амплитуды в импульсном пространстве (5.5) относится к одномерному случаю. Его легко обобщить на трёхмерный случай, когда амплитуда вероятности записывается в виде

φ(𝐩)

=

_𝐫

∫

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

-

𝑖

ℏ

(𝐩⋅𝐫)

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝑓(𝐫)𝑑³𝐫

.

(5.6)

Здесь уже предполагается, что волновая функция 𝑓(𝐫) определена во всех точках трёхмерного координатного пространства. Амплитуда φ(𝐩) представляет собой амплитуду вероятности того, что частица имеет импульс 𝐩 в момент времени 𝑡=0. (Заметим, что эта амплитуда не определена для момента времени 𝑡=𝑇.) Временной интервал 𝑇 обусловливается самим измерительным прибором, и его можно варьировать, не изменяя при этом величины амплитуды в импульсном пространстве. Квадрат модуля этой амплитуды, умноженный на элемент объёма пространства импульсов, даёт вероятность нахождения импульса в трёхмерном интервале импульсного пространства 𝑑³𝐩/(2πℏ)³.

Мы проанализировали возможность измерения импульса на основе измерения времени пролёта. Такой же анализ можно было бы провести и для других методов. Рассмотрение любого метода измерения импульса должно привести нас к одному и тому же результату для амплитуды вероятности в пространстве импульсов. Предположим, что у нас есть два прибора, предназначенные для измерения одной и той же величины — импульса. Если они дают разные результаты, то мы должны объяснить это неисправностью одного из приборов. Таким образом, если согласиться, что измерение времени пролёта является приемлемым методом определения импульса, то любой прибор, измеряющий импульс, должен давать для распределения импульса 𝑃(𝑝)𝑑𝑝 тот же самый результат при условии, что система находится в одном и том же состоянии 𝑓(𝑦). Анализ любого приспособления, измеряющего импульс, должен давать для амплитуды вероятности, определяющей импульс 𝑝, одно и то же выражение φ(𝑝) с точностью до несущественной фазовой постоянной (т.е. с точностью до множителя 𝑒^𝑖δ, где δ = const). Возьмём, например, следующую задачу.

Задача 5.1. Рассмотрите какой-нибудь прибор, предназначенный для измерения импульса в классическом приближении, такой, например, как масс-спектрограф. Проанализируйте этот прибор, пользуясь методом, которому мы следовали в гл. 4. Покажите, что для амплитуды в пространстве импульсов получается тот же результат.

Переход к импульсному представлению. Мы называли ψ(𝐑,𝑡) амплитудой вероятности того, что частица находится в точке 𝐑 в момент времени 𝑡. Выше показано, что соответствующая амплитуда в пространстве импульсов имеет вид

φ(𝐩,𝑡)

=

_𝐑

∫

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

-

𝑖

ℏ

(𝐩⋅𝐑)

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

ψ(𝐑,𝑡)

𝑑³𝐑

.

(5.7)

Будем называть её амплитудой вероятности того, что частица имеет импульс 𝐩 в момент времени 𝑡. Часто оказывается более удобным рассматривать задачи не в координатном представлении, а в импульсном, или, как говорят, в пространстве импульсов, а не координат. Фактически переход от одного представления к другому есть не что иное, как преобразование Фурье. Таким образом, если мы имеем импульсное представление и хотим перейти снова к координатному, то пользуемся обратным преобразованием