⎫

⎪

⎭

𝑒²

,

(11.55)

где ε и ε_∞ —соответственно статическая и динамическая диэлектрические постоянные. В типичном случае, например в кристалле NaCl, значение α составляет около 5. Вычисляемые значения энергии будут выражены в единицах ℏω.

После того, как мы решили задачу о движении гармонического осциллятора, можно изучить и квантовомеханическое движение электрона. Например, амплитуда вероятности того, что электрон выходит из точки 𝐫₁, когда все осцилляторы находятся в основном состоянии, и заканчивает движение точке 𝐫₂ при условии, что все осцилляторы снова находятся в основном состоянии, равна

𝐺

₀₀

(2,1)

=

∫

𝑒

^𝑖𝑆

𝒟𝐫(𝑡)

(11.56)

(при этом мы использовали результаты гл. 8) и

𝑆

=

1

2

∫

⎪

⎪

⎪

𝑑𝐫

𝑑𝑡

⎪²

⎪

⎪

𝑑𝑡

+

∫

√2πα

𝑘²

𝑒

^{𝑖𝐤⋅𝐫(𝑡)}

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐫(𝑠)}

𝑒

^{-𝑖|𝑡-𝑠|}

𝑑𝑡

𝑑𝑠

𝑑³𝐤

(2π)³

.

(11.57)

Проинтегрировав по волновым числам 𝐤, получим

𝑆

=

1

2

∫

|𝐫̇|²

𝑑𝑡

+

α𝑖

√8

∫

𝑒^{-𝑖|𝑡-𝑠|}

|𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)|

𝑑𝑡

𝑑𝑠

.

(11.58)

Величина 𝐺₀₀(2,1) зависит от начального и конечного положений электрона 𝐫₁ и 𝐫₂ и от рассматриваемого интервала времени 𝑇. Так как эта функция представляет собой ядро, она является решением волнового уравнения Шрёдингера, рассматриваемого в зависимости от величины временного интервала 𝑇. Поэтому в её экспоненциальные множители войдут частоты, пропорциональные уровням энергии 𝐹_𝑚. Найдём низший из этих энергетических уровней.

Как уже отмечалось, развивая наш вариационный принцип, мы не интересовались ядрами, в которых величина 𝑇 имела бы смысл реального интервала времени; напротив, мы рассматривали мнимые величины, подобные появляющимся в выражении (11.8) при больших значениях β. Прослеживая все этапы, приведшие к выражению (11.58), можно легко показать для мнимых значений временной переменной β, что окончательный вид ядра будет таким:

𝐾(2,1)

=

∫

𝑒

^𝑆

𝒟𝐫(𝑡)

,

(11.59)

где переменная 𝑡 изменяется от 0 до β и

𝑆

=

1

2

∫

⎪

⎪

⎪

𝑑𝐫

𝑑𝑡

⎪²

⎪

⎪

𝑑𝑡

+

α

√8

∬

exp(-|𝑡-𝑠|)

|𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)|

𝑑𝑡

𝑑𝑠

.

(11.60)

Этот результат совпадает с тем, что получится, если в выражении (11.58) переменную 𝑡 заменить мнимой величиной 𝑖𝑡. При больших значениях β это ядро асимптотически становится пропорциональным exp(-β𝐸₀).

Мы имеем сравнительно сложный интеграл по траекториям, к которому и попытаемся применить наш вариационный принцип. Сначала выберем некоторое простое действие 𝑆' грубо аппроксимирующее истинное действие 𝑆, а потом найдём 𝐸' и δ.

Заметим, что в соответствии с выражением (11.60) на частицу в любой момент времени «воздействует» реакция от её положения в предыдущий момент времени, которая обратно пропорциональна расстоянию между этими положениями и экспоненциально затухает с увеличением интервала между соответствующими моментами ²²). Причиной этому служит то, что вызванное электроном возмущение в кристаллической решётке потребует некоторого времени для процесса релаксации ионов, и в этот релаксационный период электрон все ещё будет «чувствовать» старое возмущение.

²²) Хотя величина 𝑡 в выражении (11.60) не является настоящим временем, а всего лишь переменной интегрирования, полезно рассматривать её, как мы это делали в § 2 гл. 10, в качестве времени.

Попробуем ввести действие 𝑆', обладающее всеми этими свойствами, за исключением того, что в законе взаимодействия вместо обратной пропорциональности расстоянию реакция положения будет иметь вид параболической ямы. Такая аппроксимация была бы непригодной, если расстояние |𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)| очень часто становилось бы чрезмерно большим. Однако, поскольку интервалы времени ограничены экспоненциальным затуханием, силы взаимодействия, большие значения этой разности, не могут дать сколько-нибудь существенного вклада в интеграл. Поэтому запишем

𝑆'

=

-

1

2

∫

|𝐫̇|²

𝑑𝑡

-

1

2

𝐶

∬

|𝐫(𝑠)-𝐫(𝑡)|²

𝑒

^{-𝑤|𝑡-𝑠|}

𝑑𝑡

𝑑𝑠

.

(11.61)

Постоянная 𝐶 определяет силу притяжения между электроном и ранее созданным им возмущением; будем рассматривать её в качестве подгоночного параметра. Кроме того, без особых трудностей можно допустить, что закон обрезания экспоненты содержит некоторую отличную от единицы постоянную 𝑤. С её помощью мы сможем частично компенсировать неточность, которая вносится при замене обратно пропорциональной зависимости от расстояния параболической ямой (в этой связи заметим также, что добавление ещё одной постоянной в параболический член не улучшает результата, так как такой член выпал бы при вычислении 𝐸'₀). Параметры 𝐶 и 𝑤 подберём далее таким образом, чтобы получить минимум 𝐸'₀.

Поскольку действие 𝑆' мы выбрали квадратичным, то все существенные интегралы по траекториям легко вычисляются методами, описанными в гл. 2.

Сравнивая выражения (11.60) и (11.61), видим, что

1

β

⟨𝑆-𝑆'⟩

=

α

√8

∫

╱

╲

1

|𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)|

╲

╱

𝑒

^-|𝑡-𝑠|

𝑑𝑠

+

+

1

2

𝐶

∫

⟨|𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)|²⟩

𝑒

^{-𝑤|𝑡-𝑠|}

𝑑𝑠

=

𝐴+𝐵

.

(11.62)

Сконцентрируем наше внимание на первом члене в правой части этого равенства 𝐴. Для выражения |𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)|^-1 в нем можно выполнить преобразование Фурье. Дело в том, что этот множитель возникает в результате преобразования Фурье при переходе от выражения (11.57) к (11.58). Таким образом, мы имеем

|𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)|

^-1

=

∫

𝑑³𝐤

exp{𝑖𝐤⋅[𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)]}

(2π²𝑘)

^-1

.

(11.63)

Теперь необходимо изучить выражение

⟨exp{𝑖𝐤⋅[𝐫(τ)-𝐫(σ)]}⟩

=

∫

(

𝑒

^𝑆'

exp{𝑖𝐤⋅[𝐫(τ)-𝐫(σ)]}

)

𝒟𝐫(𝑡)

∫ 𝑒^𝑆' 𝒟𝐫(𝑡)

.

(11.64)

Интеграл в числителе имеет вид

𝐼

=

∫

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢