-δ
=
∫
φ
'*
0
𝐻'
φ
'
0
𝑑𝑥
+
∫
φ
'*
0
𝑉
φ
'
0
𝑑𝑥
-
∫
φ
'*
0
𝑉'
φ
'
0
𝑑𝑥
(11.47)
Но точный гамильтониан можно записать в виде
𝐻
=
𝑝²
2𝑚
+
𝑉
=
𝑝²
2𝑚
+
𝑉'
+
𝑉
-
𝑉'
=
𝐻'
+
𝑉
-
𝑉
,
(11.48)
а это означает, что
𝐸
0
≤
∫
φ
'*
0
𝐻'
φ
'
0
𝑑𝑥
,
(11.49)
где φ'0 — нормированная волновая функция, соответствующая низшему энергетическому состоянию системы с гамильтонианом (11.45). Отметим, что оценка наименьшей энергии (11.49) зависит от произвольного потенциала 𝑉'(𝑥) только лишь через волновую функцию φ'0. В силу неопределённости потенциала произвольной является и функция φ'0. Поэтому вместо того, чтобы подбирать потенциал 𝑉', находить по нему соответствующую волновую функцию и потом переходить к вычислению соотношения (11.49), мы могли бы подобрать волновую функцию и потом вычислить правую часть (11.49), совершенно не заботясь о потенциале, которому отвечает эта волновая функция. При таком подходе переменной является скорее волновая функция φ'0, а не потенциал 𝑉'(𝑥). Отсюда видно, что полученный результат — просто другой способ толкования соотношения (11.33).
Если бы все задачи были такими, как в данном примере, когда оказывается применимым выражение (11.13), то не возникало бы оснований для столь длинных рассуждений. Однако существуют значительно более сложные интегралы, для которых выражение (11.13), по крайней мере в той степени, насколько мы можем сейчас об этом судить, не столь просто преобразуется к соотношению (11.33). Такой пример мы рассмотрим в следующем параграфе.
§ 4. Медленные электроны в ионном кристалле 21)
21 См. работу [8].
Пусть электрон движется в ионном кристалле, например в кристалле хлористого натрия. При этом он взаимодействует с ионами, которые не являются жёстко закреплёнными, и создаёт вокруг себя искажение кристаллической решётки. Если электрон движется, то область возмущения перемещается вместе с ним. Такой электрон вместе с возмущаемой им окрестностью был назван поляроном.
Вследствие возмущения решётки энергия электрона уменьшается. Кроме того, поскольку электрон перемещается и ионы должны двигаться согласованно с возмущением, то эффективная масса электрона (или, применяя общепринятый термин — масса полярона) превосходит значение массы, которое получилось бы, если решётка состояла бы из жёстко закреплённых точек. Точный квантовомеханический анализ движения такого полярона чрезвычайно сложен, и мы сделаем некоторые допущения, удовлетворить которым в реальном случае, вероятно, весьма трудно. Тем не менее мы вслед за рядом физиков будем рассматривать такую идеализированную задачу [9] не только потому, что она, возможно, отражает реальное поведение электрона в кристалле, но также и потому, что она является одним из простейших примеров взаимодействия частицы и поля. Вариационный метод вычисления интегралов по траекториям оказывается в этом случае весьма плодотворным.
Сначала отметим, что даже если бы ионы были жёстко закреплены в кристалле, тем не менее электрон двигался бы в очень сложном потенциальном поле. При этом можно показать, что существуют решения уравнения Шрёдингера для электрона с определёнными волновыми числами 𝐤. Энергетические уровни в этих решениях обычно являются весьма сложными функциями волнового числа. Тем не менее мы предположим, что связь между энергией 𝐸 и волновым числом 𝐤 квадратична:
𝐸
=
ℏ²𝑘²
2𝑚
,
(11.50)
где 𝑚 — постоянная величина, не обязательно равная массе электрона в вакууме. Далее заметим, что при воздействии электрона на решётку отрицательные ионы отталкиваются, а положительные притягиваются. Движение ионов можно исследовать, рассматривая их как набор гармонических осцилляторов и применяя методы гл. 8. Однако мы предположим, что возникают только такие высокочастотные гармоники, в которых ионы с разным зарядом движутся в противоположных направлениях. Частота гармоники ω𝐤 зависит от волнового числа соответствующего собственного колебания, но мы пренебрежём этой зависимостью и будем считать, что ω — постоянная величина.
Наша задача заключается в том, чтобы найти электрическую силу, создаваемую возмущением, характеризуемым волновым числом 𝐤, и определить движение электрона под действием этой силы. Пренебрежём пока атомной структурой и будем рассматривать вещество нашего кристалла просто как непрерывный диэлектрик, в котором распространяются волны поляризации. Если 𝐏 — вектор поляризации, имеющий вид продольной волны
𝐏
=
𝐤
𝑘
𝑎
𝑘
𝑒
𝑖𝐤⋅𝐫
,
(11.51)
то плотность заряда ионов равна
𝛒
=
𝛁⋅𝐏
=
𝑘
𝑎
𝑘
𝑒
𝑖𝐤⋅𝐫
(11.52)
Если 𝑉 — потенциал, то
𝛁²𝑉
=
𝛒
.
(11.53)
Поэтому если 𝑞𝑘 — амплитуда 𝑘-й продольной бегущей волны, то поляризация 𝑎𝑘 пропорциональна 𝑞𝑘 и взаимодействие между волной поляризации и электроном пропорцинально сумме членов вида (𝑞𝑘/𝑘) exp(𝑖𝐤⋅𝐱)по всем 𝐤.
Так как энергия и импульс электрона связаны выражением 𝐸=𝑝²/2𝑚, то мы можем записать лагранжиан всей системы в виде
𝐿
=
1
2
|𝐫̇|²
+
∑
𝐤
1
2
(𝑞
2
𝑘
-
𝑞
2
𝐤
)+
⎧
⎪
⎩
2√2πα
𝑉
⎫½
⎪
⎭
∑
𝐤
1
𝑘
𝑞
𝑘
𝑒
𝑖𝐤⋅𝐫
(11.54)
Первый член этого выражения — энергия электрона с координатой 𝐫, помещённого в кристалл с жёсткой решёткой. Второй член представляет собой лагранжиан колебаний поляризации в предположении, что все волны поляризации имеют одинаковую частоту и амплитуда 𝑘-го собственного колебания равна 𝑞𝑘. Последний член является лагранжианом взаимодействия электрона с колебаниями решётки, где 𝑉 — объём кристалла, α — постоянная величина. Чтобы упростить все последующие формулы, мы записали это выражение в безразмерном виде, т.е. единицы энергии, длины и времени выбраны так, что не только ℏ, но и общая частота осцилляторов ω, а также масса электрона 𝑚 — все равны единице. Тогда постоянная связи а равна безразмерному отношению:
α
=
1
√2
⎧
⎪
⎩
1
ε∞
-
1
ε
