⎣
-
1
2
∫
⎪
⎪
⎪
𝑑𝐫
𝑑𝑡
⎪²
⎪
⎪
𝑑𝑡
-
1
2
𝐶
∬
|𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)|²
𝑒
-𝑤|𝑡-𝑠|
𝑑𝑡
𝑑𝑠
+
+
∫
𝐟(𝑡)
⋅
𝐫(𝑡)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝒟𝐫(𝑡)
(11.65)
где введено обозначение
𝐟(𝑡)
=
𝑖𝐤δ(𝑡-τ)
-
𝑖𝐤δ(𝑡-σ)
.
(11.66)
Поскольку выражение (11.65) зависит от 𝐟 или 𝐤, можно вычислить его, за исключением некоторого нормирующего множителя, который был опущен в (11.64). Между прочим, отметим, что в (11.65) три взаимно перпендикулярные компоненты разделяются и нам останется рассмотреть лишь скалярный случай. Метод интегрирования здесь совпадает с предложенным в гл. 3 для вычисления гауссовых интегралов по траекториям. Поэтому подставим 𝑋(𝑡)=𝑋'(𝑡)+𝑌(𝑡), где 𝑋'(𝑡)— функция, для которой показатель экспоненты минимален; переменной интегрирования теперь является 𝑌(𝑡). Поскольку показатель экспоненты квадратичен по 𝑋(𝑡), а 𝑋' определяет его экстремум, то 𝑌(𝑡) может войти в показатель только в квадрате, поэтому 𝑌 выделится как множитель, не содержащий 𝑓 и обращающийся после интегрирования в постоянную (зависящую только от 𝑇):
𝐼
=
exp
⎡
⎢
⎣
-
1
2
∫
𝑋̇'²(𝑡)
𝑑𝑡
-
1
2
𝐶
∬
[𝑋'(𝑡)-𝑋'(𝑠)]²
𝑒
-𝑤|𝑡-𝑠|
𝑑𝑡
𝑑𝑠
+
+
∫
𝑓(𝑡)
𝑋'(𝑡)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
.
(11.67)
Если время изменяется от 𝑡=0 до 𝑡=𝑇, то удобно выбрать граничные условия 𝑋'(0)=𝑋'(𝑇)=0. Условие обращения в нуль вариации даёт интегральное уравнение
𝑑²𝑋'(𝑡)
𝑑𝑡²
=
2𝐶
[𝑋'(𝑡)-𝑋'(𝑠)]²
𝑒
-𝑤|𝑡-𝑠|
𝑑𝑠
-
𝑓(𝑡)
.
(11.68)
С помощью этого уравнения выражение (11.67) можно записать в более простом виде:
𝐼
=
exp
⎡
⎢
⎣
1
2
∫
𝑓(𝑡)
𝑋'(𝑡)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
.
(11.69)
Теперь мы должны ещё решить уравнение (11.68) и подставить результат в (11.69). Чтобы сделать это, введём функцию
𝑍(𝑡)
=
𝑤
2
∫
𝑒
-𝑤|𝑡-𝑠|
𝑋'(𝑠)
𝑑𝑠
(11.70)
так, чтобы
𝑑²𝑍(𝑡)
𝑑𝑡²
=
𝑤²
[𝑍(𝑡)-𝑋'(𝑡)]
.
(11.71)
Тогда уравнение (11.68) принимает вид
𝑑²𝑋'(𝑡)
𝑑𝑡²
=
4𝐶
𝑤
[𝑋'(𝑡)-𝑍(𝑡)]
-
𝑓(𝑡)
.
(11.72)
Как видно, уравнения разделяются и легко решаются. Подстановка в соотношение (11.69) решения уравнения (11.68) 𝑋'(𝑡) даёт
𝐼
=
exp{𝑖𝐤⋅[𝐗(τ)-𝐗(σ)]}
=
=
exp
⎡
⎢
⎣
-
2𝐶𝑘²
𝑣²𝑤
(1-𝑒
-𝑣|τ-σ|
)
-
𝑤²
2𝑣²
𝑘²
|τ-σ|
⎤
⎥
⎦
,
(11.73)
где мы положили
𝑣²
=
𝑤²
+
4𝐶
𝑤
.
(11.74)
Этот результат нормирован правильно, так как он справедлив в случае 𝐤=0. После подстановки выражения (11.73) в (11.63) получим интеграл по 𝐤 от простой гауссовой функции, так что для 𝐴 имеем
𝐴
=
π
-½
α𝑣
𝑤
∞
∫
0
⎡
⎢
⎣
𝑤²τ
-
𝑣²-𝑤²
𝑣
(1-𝑒
-𝑣τ
)
⎤-½
⎥
⎦
𝑒
-𝑤τ
𝑑τ
.
(11.75)
Чтобы найти 𝐵, нам нужно определить величину ⟨|𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)|²⟩. Её можно получить, разложив обе части выражения (11.73) в ряд по 𝐤 с точностью до членов порядка 𝑘. Таким образом,
1
3
⟨|𝐫(τ)-𝐫(σ)|²⟩
=
4𝐶
𝑣³𝑤
(1-𝑒
-|τ-σ|
)
+
𝑤²
𝑣²
|τ-σ|
.
(11.76)
Интеграл 𝐴 теперь легко вычислить, и результат выражается в очень простом виде:
𝐵
=
3𝐶
𝑣𝑤
.
(11.77)
В итоге нам нужно получить энергию 𝐸', соответствующую действию 𝑆'. Эту величину проще всего найти дифференцированием обеих частей выражения (11.6) по 𝐶:
𝐶𝑑𝐸'0
𝑑𝐶
=
𝐵
,
(11.78)
так что с учётом выражений (11.77) и (11.74) получаем после интегрирования
𝐸'
0
=
3
2
(𝑣-𝑤)
,
(11.79)
где мы учли, что 𝐸'0=0 при 𝐶=0. Поскольку 𝐸'0-𝐵=(3/4𝑣)(𝑣-𝑤)², то окончательно получим для энергии выражение
𝐸
=
3
4𝑣
(𝑣-𝑤)²
-
𝐴
,
(11.80)
где 𝐴 задано соотношением (11.75). Величины 𝑣 и 𝑤 — два параметра, которые для получения минимума можно варьировать порознь.
К сожалению, интеграл 𝐴 нельзя вычислить в квадратурах, так что окончательное определение 𝐸 требует численного интегрирования. Однако существует возможность найти приближённые выражения в различных предельных случаях. Случай больших α соответствует большим 𝑣. Выбор 𝑤=0 приводит к интегралу
𝐴
=
π
-½
α
𝑣
½
∞
∫
0
𝑒
-τ
𝑑τ
(1-𝑒
-𝑣τ
)
-½
=
αΓ(1/𝑣)
𝑣½Γ(½+1/𝑣)
(11.81)
и 𝐸'0=3𝑣/4. Это эквивалентно тому, что в выражении (11.37) используется потенциал, который соответствует свободным гармоническим колебаниям. При больших 𝑣 членом 𝑒-𝑣τ можно пренебречь, так что 𝐴=(πω)-½α𝑣½. Для значений α, меньших чем 5,8, и при 𝑤=0 выражение (11.80) не имеет минимума, только если не выполнено условие 𝑣=0, так что случай 𝑤=0 не даст единого выражения для всех значений α. Несмотря на этот недостаток, результат (11.81) сравнительно прост и достаточно точен. При α>6 фактически существенны только большие значения 𝑣 и пригодна приближённая формула
