Задача 10.3. Покажите, что поправка к потенциалу в случае трёхмерного движения нескольких частиц (которые мы будем различать по индексам; 𝑚𝑖 — масса 𝑖-й частицы) равна
βℏ²
24𝑚
∑
𝑖
1
𝑚𝑖
∇
2
𝑖
𝑉.
(10.58)
На практике результаты этого вычисления оказываются не очень полезными. В большинстве задач (например, при рассмотрении газа сталкивающихся молекул) потенциал растёт довольно быстро, так что на малых расстояниях происходит сильное отталкивание и вторая производная очень велика. В тех случаях, когда это не так, полученная формула может оказаться полезной. Её преимущество состоит в том, что она допускает обобщение на члены более высокой степени точности.
Задача 10.4. Покажите, что поправка к функции распределения, учитывающая четвёртую степень ℏ, содержит множитель
⎧
⎨
⎩
1-
β²ℏ²
24𝑚
𝑉''
(
𝑥
)
+
7β4ℏ4
8×720𝑚²
[𝑉''(
𝑥
)]²
-
β³ℏ³
24×48𝑚²
𝑉''''
(
𝑥
)
+
…
⎫
⎬
⎭
.
Мы уже видели, что для описания квантовомеханических аффектов можно вычислить функцию распределения по классической формуле (10.48), подставив вместо истинного потенциала 𝑉(𝑥) модифицированное выражение 𝑉+(βℏ²/24𝑚)𝑉''. Это обстоятельство наводит на мысль попытаться пойти дальше и отыскать некоторый эффективный потенциал 𝑈(𝑥), после подстановки которого вместо потенциала 𝑉 классическое выражение (10.48) стало бы ещё более точным приближением к истинной квантовомеханической функции распределения. Будем исходить из точного выражения
𝑍
=
∫
{
exp[-β𝑉(
𝑥
)]
𝑑
𝑥
}
∫
exp
⎧
⎪
⎩
𝑚
2ℏ
βℏ
∫
0
𝑥̇²
𝑑𝑢
-
-
1
ℏ
βℏ
∫
0
{
𝑉[𝑥(𝑢)]
-
𝑉[
𝑥
]
𝑑𝑢
}
⎫
⎪
⎭
𝒟𝑥(𝑢)
.
(10.59)
и рассмотрим интеграл по тракториям как среднее по траекториям 𝑥(𝑢) от функции 𝑒𝑓, где
𝑓
=-
βℏ
∫
0
{
𝑉[𝑥(𝑢)]
-
𝑉[
𝑥
]
}
𝑑𝑢
ℏ
(10.60)
и усреднение производится с весовой функцией exp[-(𝑚/2ℏ)∫𝑥̇²𝑑𝑢] Заменив здесь среднее от экспоненты на экспоненту от среднего
⟨𝑒
𝑓
⟩
→
𝑒
⟨𝑓⟩
,
(10.61)
мы тем самым внесли бы погрешность второго порядка по 𝑓, или, точнее, порядка разности между ⟨𝑓⟩² и ⟨𝑓²⟩. В гл. 11 мы увидим, что можно определить знак этой погрешности (левая часть окажется больше правой).
Найдём среднее значение функции 𝑓 для каждого 𝑥:
⟨𝑓⟩
=
1
ℏ
∫
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
-
𝑚
2ℏ
βℏ
∫
0
𝑥̇²
𝑑𝑢
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
βℏ
∫
0
{
𝑉[𝑥(𝑡)]
-
𝑉[
𝑥
]
}
𝑑𝑡
𝒟𝑥(𝑢)
(10.62)
в предположении, что начальная и конечная точки совпадают, а сама траектория соответствует ограничению, накладываемому равенством (10.50).
Для вычисления этого выражения рассмотрим несколько отличный, но связанный с ним интеграл
𝐼(
𝑥
)
=
∬
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
-
𝑚
2ℏ
βℏ
∫
0
𝑦̇²
𝑑𝑢
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
{
𝑉[
𝑥
+𝑦(𝑡)]
-
𝑉[
𝑥
]
}
𝒟𝑦(𝑢)
𝑑𝑌
,
(10.63)
где на траектории 𝑦(𝑢) накладывается ограничение
𝑦(0)
=
𝑦(βℏ)
=
𝑌;
βℏ
∫
0
𝑦(𝑢)
𝑑𝑢
=0.
(10.64)
Фиг. 10.1 Периодичность траекторий.
Все траектории, которые в момент 𝑡=βℏ возвращаются в исходную точку, соответствующую моменту 𝑡=0, можно рассматривать как отрезки длины βℏ периодических траекторий, период которых равен βℏ.
Оказывается, что интеграл 𝐼(𝑥) не зависит от 𝑡. Убедиться в этом можно при помощи следующего рассуждения. Предположим, что каждая траектория в этом интеграле не является конечной, а представляет собой, как показано на фиг. 10.1, отрезок длины βℏ периодической траектории, период которой тоже равен βℏ. Из всего семейства таких траекторий рассмотрим две: 𝑦(𝑡) и 𝑦1(𝑡)=𝑦(𝑡1+𝑡), как это показано на фиг. 10.2. Точка 𝑦(𝑡1) на первой траектории, отвечающая моменту 𝑡=𝑡1 на второй траектории соответствует моменту 𝑡=0, т.е. 𝑦1(0)=𝑦(𝑡1). Кроме того, для любого другого момента 𝑡𝑖 в этом семействе отыщется аналогичная функция 𝑦𝑖(𝑡), для которой 𝑦𝑖(0)=𝑦(𝑡𝑖), и все такие траектории дадут одинаковый вклад в интеграл
βℏ
∫
0
𝑦²
𝑑𝑢
.
Все эти рассуждения применимы, конечно, к каждой траектории, учитываемой в интеграле (10.63). Поэтому, не ограничивая общности рассуждений, можно положить в интеграле 𝑡=0, а это равносильно утверждению, что данный интеграл не зависит от переменной 𝑡.
Фиг. 10.2. Выбор начального момента.
Предположим, что одна из «периодических» траекторий 𝑦(𝑡), показанных на фиг. 10.1, имеет при 𝑡=𝑡1 значение 𝑦(𝑡1). Тогда совокупность всех «периодических» траекторий должна содержать эту же траекторию, сдвинутую влево на расстояние 𝑡1, [т.е. 𝑦(𝑡+𝑡1)] и принимающую при 𝑡=𝑡1, то же значение, что и в момент 𝑡=0. Поэтому интеграл, усреднённый по всем таким траекториям, не должен зависеть от выбора начального момента 𝑡=0.
Задача 10.5. Используя метод, кратко описанный в задаче 10.2, покажите, что величины ⟨𝑓⟩ и 𝐼(𝑥) связаны соотношением
𝐼(
𝑥
)
=
⎧
⎪
⎩
12𝑚
2πβℏ²
⎫½
⎪
⎭
∞
∫
-∞
[𝑉(
𝑥
+𝑌)-𝑉(
𝑥
)]
𝑒
-6𝑌²𝑚/βℏ²
𝑑𝑌
