=
⟨𝑓⟩
β
.
(10.65)
Обозначим нашу приближённую функцию распределения через 𝑍', а связанную с ней свободную энергию Гельмгольца через 𝐹', так что 𝑍'=𝑒-β𝐹'. Тогда, применяя результаты задачи 10.5 и соотношение (10.61), получаем
𝑍'
=
∫
(exp{
-β[𝑉(
𝑥
)+𝐼(
𝑥
)]
})
𝑑
𝑥
∫
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
-
𝑚
2ℏ
βℏ
∫
0
𝑥̇²
𝑑𝑢
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
𝒟𝑥(𝑢)
.
(10.66)
Входящий в это выражение интеграл по траекториям уже вычислялся раньше; он имеет вид (10.46). Таким образом, можно записать
𝑒
-β𝐹'
=
⎧
⎪
⎩
𝑚𝓀𝑇
2πℏ²
⎫½
⎪
⎭
∫
𝑒
-β𝑈(𝑥)
𝑑
𝑥
,
(10.67)
где
𝑈(
𝑥
)
=
∞
∫
-∞
𝑉(
𝑥
+𝑦)
𝑒
-6𝑌²𝑚/βℏ²
𝑑𝑦
⎧
⎪
⎩
12𝑚
2πβℏ²
⎫½
⎪
⎭
,
(10.68)
а потенциал 𝑉(𝑥) в явном виде не встречается.
Эти результаты означают, что свободную энергию 𝐹' можно приближённо вычислять классическим методом, т.е. с помощью выражения, подобного (10.48), и при этом получить хорошее приближение, если вместо 𝑉(𝑥) использовать эффективный потенциал 𝑈(𝑥), определяемый соотношением (10.68). Отметим, кстати, что эффективный потенциал зависит от температуры.
Потенциал 𝑈(𝑥) представляет собой среднее значение потенциала 𝑉(𝑥), полученное путём усреднения вокруг точки 𝑥 с гауссовой весовой функцией, среднеквадратичное отклонение которой составляет (βℏ²/12𝑚)½. Если проанализировать различные неравенства, содержащиеся в нашем приближении, то мы найдём, что приближённое значение свободной энергии 𝐹' превышает её истинное значение 𝐹. Подробности этого обсуждаются в следующей главе [см. неравенство (11.9) и далее].
Задача 10.6. Покажите, что потенциал, определяемый соотношением (10.68), совпадает с «исправленным» потенциалом равенства (10.57) (т.е. с показателем экспоненты в этом равенстве), если в этом последнем разложить 𝑉 в ряд Тейлора.
Задача 10.7. Проверьте справедливость нашего приближения на примере гармонического осциллятора, точное значение свободной энергии которого равно
𝐹
точное
=
𝓀𝑇
ln
⎧
⎪
⎩
2sh
ℏω
2𝓀𝑇
⎫
⎪
⎭
.
(10.69)
С помощью эффективного потенциала 𝑈 вычислите приближённое значение свободной энергии; покажите, что
𝑈
=
𝑚ω²
2
⎧
⎪
⎩
𝑥²
+
βℏ
12𝑚
⎫
⎪
⎭
(10.70)
и
𝐹
прибл
=
𝓀𝑇
⎧
⎪
⎩
ln
ℏω
𝓀𝑇
⎫
⎪
⎭
+
(ℏω)²
24𝓀𝑇
.
(10.71)
При различных значениях частоты ω определите свободную энергию или, ещё лучше, её отношение к величине 𝓀𝑇. Предполагается, что дробь ℏω/𝓀𝑇 может, в частности, принимать значения 1, 2 и 4. Покажите, что, как и следовало ожидать, 𝐹' больше 𝐹 и ошибка возрастает при уменьшении температуры. Обратите внимание, что даже если мы уходим очень далеко от классической области (т.е. когда отношение ℏω/𝓀𝑇=2, так что вероятность пребывания системы в основном состоянии составляет 85%), приближённые результаты все ещё удивительно близки к истинным.
Сравните эти результаты с классическим приближением, где свободная энергия принимается равной 𝓀𝑇 ln(ℏω/𝓀𝑇). Оно приводит к значениям 2𝐹/ℏω, что видно из табл. 1.
Таблица 1
ℏω/𝓀𝑇
1
2
4
Точное значение
0,08266
0,8546
0,9906
Наше приближение
0,08333
0,8598
1,0264
Классический предел
0,00000
0,6931
0,6931
§ 4 Системы с несколькими переменными
Если система зависит от нескольких переменных, то (за исключением специальных задач, связанных с рассмотрением свойств симметрии) формулы, описывающие её поведение, получаются прямым обобщением уже изученных нами методов.
Жидкий гелий. В качестве примера рассмотрим задачу отыскания функции распределения в случае жидкого гелия. Предположим, что мы имеем 𝑁 одинаковых атомов массы 𝑚, заключённых в некоторый объём. Предположим далее, что эти атомы взаимодействуют попарно; потенциал этого взаимодействия 𝑉(𝑟1,2) на больших расстояниях соответствует слабому притяжению, а на малых— очень сильному отталкиванию. Для наглядности можно представлять себе 𝑉(𝑟) как потенциал, описывающий столкновение твёрдых шариков, т.е. положить
𝑉(𝑟)
=
⎧
⎨
⎩
0 при 𝑟>2,7Å,
∞ при 𝑟<2,7Å.
(10.72)
Лагранжиан такой системы имеет вид
𝐿
=
∑
𝑖
1
2
𝑚
|𝐑̇|²
-
1
2
∑
𝑖,𝑗
𝑉(𝑟
𝑖,𝑗
)
,
(10.73)
откуда следует, что функция распределения
𝑍
=
∫
𝑑
𝑁
𝐑(0)
∫
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
-
⎧
⎨
⎩
𝑚
2ℏ
βℏ
∫
0
|𝐑̇(𝑡)|²
𝑑𝑡
+
+
1
2ℏ
∑
𝑖,𝑗
βℏ
∫
0
𝑉[𝐑
𝑖
(𝑡)-𝐑
𝑗
(𝑡)]
𝑑𝑡
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
𝒟
𝑁
𝐑(𝑡)
.
(10.74)
В этом выражении символ 𝑑𝑁𝐑 означает произведение 𝑑³𝐑1𝑑³𝐑2𝑑³𝐑3 … 𝑑³𝐑𝑁, аналогично 𝒟𝑁𝐑 — произведению 𝒟𝐑1𝒟𝐑2𝒟𝐑3 … 𝒟𝐑𝑁. Мы предполагаем, что все интегралы по тракториям берутся между совпадающими начальными и конечными точками 𝐑𝑖(0) и 𝐑𝑖(β), т.е. 𝐑𝑖(0)=𝐑𝑖(β).
