которая существует для каждой траектории. По этим средним точкам можно интегрировать точно так же, как это делалось в выражении (10.48) по начальным точкам 𝑥1. При этом функция распределения принимает вид
𝑍
=
∫
𝑑
𝑥
𝑥1
∫
𝑥1
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
-
1
ℏ
⎧
⎨
⎩
𝑚
2
βℏ
∫
0
𝑥̇²
𝑑𝑢
+
βℏ
∫
0
𝑉[𝑥(𝑢)]
𝑑𝑢
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
𝒟𝑥(𝑢)
.
(10.51)
Здесь для интеграции выбраны траектории, удовлетворяющие двум условиям: 1) 𝑥, определяемое равенством (10.50), фиксировано и 2) начала и концы траекторий совпадают (это означает, что интеграл включает также и интегрирование по всем точкам 𝑥1).
Разлагая потенциал 𝑉(𝑥) в ряд Тейлора в точке 𝑥, получаем
βℏ
∫
0
𝑉[𝑥(𝑢)]
𝑑𝑢
=
βℏ
𝑉(
𝑥
)
+
βℏ
∫
0
[𝑥(𝑢)-
𝑥
]
𝑉'(
𝑥
)
𝑑𝑢
+
+
1
2
[𝑥(𝑢)-
𝑥
]²
𝑉''(
𝑥
)
𝑑𝑢
.
(10.52)
В силу равенства (10.50) второй член в правой части обращается в нуль. Таким образом, мы пришли к выражению, в котором первая отличная от нуля поправка будет поправкой второго порядка. Применяя это разложение и отбрасывая все старшие члены (третьего и высших порядков), получаем для функции распределения
𝑍
≈
∫
𝑒
-β𝑉(𝑥)
𝑑
𝑥
𝑥1
∫
𝑥1
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
-
βℏ
∫
0
⎧
⎨
⎩
𝑚
2
𝑥̇²
+
+
[𝑥(𝑢)-
𝑥
]²
𝑉''(
𝑥
)
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑢
ℏ
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
𝒟𝑥(𝑢)
.
(10.53)
Интеграл по тракториям в этом выражении отличается от предыдущих тем, что на траектории интегрирования наложено ограничение, выражаемое равенством (10.50). Для дальнейшего перепишем это равенство в виде
βℏ
∫
0
(𝑥-
𝑥
)
𝑑𝑢
=0
.
Подставляя в качестве координаты траектории 𝑦=𝑥-𝑥, запишем это так:
βℏ
∫
0
𝑦
𝑑𝑢
=0
.
а сам интеграл преобразуем к виду
𝑥1-𝑥
∫
𝑥1-𝑥
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
-
βℏ
∫
0
⎡
⎢
⎣
𝑚
2
𝑦̇²
+
1
2
𝑦²
𝑉''(0)
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑢
ℏ
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝒟𝑦(𝑢)
.
(10.54)
Подынтегральная функция в этом выражении та же, что и в случае гармонического осциллятора, если его частота определяется соотношением ω²=𝑉''(0)/𝑚.
Теперь применим к этому интегралу ограничение на траектории следующим образом. Умножаем весь интеграл по траекториям на δ-функции
δ
⎧
⎪
⎩
βℏ
∫
0
𝑦𝑑𝑢
⎫
⎪
⎭
.
Для того чтобы оперировать с δ-функцией под знаком интеграла, произведём над ней преобразование Фурье
δ(x)
=
∞
∫
-∞
[exp(𝑖𝑘𝑥)]
𝑑𝑘
2π
и запишем
∞
∫
-∞
𝑑𝑘
2π
𝑥1-𝑥
∫
𝑥1-𝑥
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
-
1
ℏ
βℏ
∫
0
⎧
⎪
⎩
𝑚
2
𝑦̇²
+
1
2
𝑉''
𝑦²
+
𝑖𝑘𝑦
⎫
⎪
⎭
𝑑𝑢
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝒟𝑦(𝑢)
.
(10.55)
Интеграл, представленный в такой форме, уже содержит в себе ограничения, накладываемые равенством (10.50), и мы можем прямо перейти к стандартным методам его вычисления, чтобы получить искомое решение. Отметим, что наш интеграл имеет тот же самый вид, что и в случае гармонического осциллятора, если 𝑚 и 𝑉'' считать мнимыми. Мы интересуемся лишь случаем малых 𝑉'' и в любой момент можем перейти к приближению, содержащему лишь члены первого порядка.
Задача 10.2. Вычислите интеграл (10.55), воспользовавшись методами гл. 3 и, в частности, соотношением (3.66). Напомним, что все траектории в этой задаче имеют одинаковые начальные и конечные точки и для завершения вычисления интеграла необходимо проинтегрировать по всем этим точкам, а затем по всем значениям 𝑘, после чего решение с точностью до первого порядка по 𝑉'' имеет вид
const
⎡
⎢
⎣
1-
β²ℏ²
24𝑚
𝑉''
(
𝑥
)
⎤
⎥
⎦
.
(10.56)
Функцию распределения, которая соответствует решению задачи 10.2, лучше всего записать так (тоже с точностью до членов первого порядка по 𝑉''):
𝑍
=
⎧
⎪
⎩
𝑚𝓀𝑇
2πℏ²
⎫½
⎪
⎭
∫
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
-β
⎡
⎢
⎣
𝑉(
𝑥
)
+
βℏ²
24𝑚
𝑉''(
𝑥
)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝑑
𝑥
.
(10.57)
Неизвестная константа определяется здесь простым сравнением с результатом классического рассмотрения (10.48). Мы видим, что функция распределения имеет тот же самый вид, что и функция, вычисленная в чисто классических предположениях. Разница состоит лишь в том, что теперь к потенциалу добавлена поправка (βℏ²/24𝑚)𝑉''(𝑥), которая по своей природе является, очевидно, квантовомеханической, как это можно понять из появления в ней постоянной Планка ℏ.
