𝐾
(𝑥
2
,η;𝑥
1
,0)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2πηℏ
⎫½
⎪
⎭
×
×
exp
⎧
⎨
⎩
-
(𝑚/2η)(𝑥2-𝑥1)²+η𝑉[(𝑥2-𝑥1)/2]
ℏ
⎫
⎬
⎭
.
В том, что это выражение действительно является решением уравнения (10.34), можно убедиться непосредственной подстановкой.
Функции, определённые для последовательных значений 𝑢, строятся по тому же правилу, что и ядра для последовательных интервалов времени, т.е.
𝑘(2,1)
=
∫
𝑘(3,2)
𝑘(3,1)
𝑑𝑥
3
.
(10.40)
Справедливость последнего следует из того факта, что выражение (10.33) представляет собой первую производную по 𝑢. Этим правилом можно воспользоваться, чтобы получить интеграл по траекториям, определяющий 𝑘(2,1):
𝑘(𝑥
2
,𝑢
2
;𝑥
1
,𝑢
1
)
=
∫
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
-
𝑁-1
∑
𝑖=0
⎡
⎢
⎣
𝑚
2ℏη
(𝑥
𝑖+1
-𝑥
𝑖
)
2
𝑁-1
+
+
η
ℏ
𝑉(𝑥
𝑖
)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝑁-1
∏
𝑖=0
𝑑𝑥𝑖
𝑎
.
(10.41)
Нормировочную константу следует теперь выбрать в виде
𝑎
=
⎧
⎪
⎩
2πℏη
𝑚
⎫½
⎪
⎭
,
(10.42)
и интеграл вычисляется по всем траекториям, проходящим из точки 𝑥1 в точку 𝑥2 (т.е. 𝑥𝑖 равно 𝑥1 при 𝑖=0 и 𝑥2 при 𝑖=𝑁) на отрезке 𝑢2-𝑢1=𝑁η.
Результат всех этих рассуждений заключается в следующем: если «траекторию» 𝑥(𝑢) рассматривать как некую функцию, связывающую значения координаты и параметра 𝑢, и если обозначить через 𝑥̇ производную 𝑑𝑥/𝑑𝑢, то матрица плотности выразится в виде
ρ(𝑥
2
,𝑥
1
)
=
∫
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
-
1
ℏ
βℏ
∫
0
⎡
⎢
⎣
𝑚
2
𝑥̇²(𝑢)
+
𝑉(𝑥)
⎤
⎥
⎦
𝑑(𝑢)
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝒟𝑥(𝑢)
.
(10.43)
Этот результат очень примечателен, поскольку поведение квантовомеханической системы полностью определяется здесь интегралом по траекториям, причём не появляется вездесущая мнимая единица 𝑖, столь характерная для квантовой механики (между прочим, этого не будет и в случае системы, движущейся в магнитном поле). Интеграл (10.43) намного удобнее в обращении, и его значительно легче интерпретировать наглядно, чем рассмотренные выше комплексные интегралы. Здесь легко видеть, например, почему некоторые трактории дают очень малый вклад в интеграл: для них отрицательный показатель экспоненты велик по модулю и потому подынтегральная функция ничтожно мала. Кроме того, отпадает необходимость в размышлениях о взаимной компенсации соседних траекторий; в данном случае все они суммируются совершенно равноправно, независимо от величины их вкладов.
Параметр 𝑢 ни в каком смысле не является реальным физическим временем. Он представляет собой лишь параметр в выражении для матрицы плотности ρ. Однако мы можем, если хотим воспользоваться аналогией, считать 𝑢 временем для некоторой траектории и интерпретировать выражение (10.43) весьма наглядным образом. По сути дела, мы подыскиваем физическую аналогию для математического выражения; будем называть 𝑢 «временем» в кавычках, которые должны напоминать нам, что это не есть физическое время (хотя 𝑢 и в самом деле имеет размерность времени). Подобным же образом назовём 𝑥̇ «скоростью», 𝑚𝑥̇/2 —«кинетической энергией» и т.д. В этом смысле выражение (10.43) утверждает, что матрица плотности, соответствующая температуре 1/β, образуется следующим образом:
Рассмотрим все возможные траектории («движения»), посредством которых система может переходить между начальной и конечной конфигурациями за «время» βℏ матрица плотности является суммой вкладов от каждого такого движения, причём вклад отдельного движения равен делённому на ℏ интегралу по «времени» от «энергии» для рассматриваемой траектории.
Если мы выберем только те случаи, когда конечная конфигурация совпадает с начальной, и просуммируем по всем начальным конфигурациям, то получим функцию распределения.
Задача 10.1. Покажите, что матрица плотности в случае гармонического осциллятора имеет вид
ρ(𝑥',𝑥)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
2πℏ sh ωβℏ
⎫½
⎪
⎭
exp
⎧
⎨
⎩
-
𝑚ω
2πℏ(sh ωβℏ)²
×
×
[
(𝑥²+𝑥'²)
ch ωβℏ
-
2𝑥𝑥'
]
⎫
⎬
⎭
.
(10.44)
Сравните это выражение с результатами задачи 3.8. Покажите также, что свободная энергия равна 𝓀𝑇 ln [2sh(ℏω)/2𝓀𝑇]. Последнюю величину проверьте прямым вычислением суммы (10.2).
Если температура не слишком низка (далее будет обсуждаться вопрос, какая температура является слишком низкой), то βℏ очень мало. Поэтому при вычислении функции распределения, для которой 𝑥1=𝑥2, каждая траектория, начинаясь в точке 𝑥1 возвращается в эту точку через очень короткое «время». Действительно, трактории не могут проходить в большом удалении от точки 𝑥1, поскольку возвращение назад потребует очень большой «скорости» и большой «кинетической энергии». Для таких траекторий экспонента в выражении (10.43) становится ничтожно малой и их вклад в сумму по всем траекториям будет незначителен. В силу этих обстоятельств траектории 𝑥(𝑢), которые должны рассматриваться при вычислении 𝑉[𝑥(𝑢)], никогда не располагаются далеко от начальной точки 𝑥1. Поэтому в первом приближении можно записать для всех траекторий 𝑉[𝑥(𝑢)]≈𝑉[𝑥1]: тогда потенциальная энергия оказывается не зависящей от траектории и часть экспоненты, содержащую потенциал, можно вынести за знак интеграла. Таким образом, для не слишком малых температур
ρ(𝑥
1
,𝑥
1
)
=
𝑒
-β𝑉(𝑥1)
𝑥1
∫
𝑥1
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
-
