(2)
которые одному из каждой пары канонически сопряженных переменных сопоставляют дифференциальный оператор. В соответствии с этими двумя альтернативными подходами квантовомеханичесцие расчёты могут выполняться или с помощью представления переменных в виде матриц, элементы которых относятся к индивидуальным переходам между двумя состояниями системы, или с использованием так называемого волнового уравнения, решения которого описывают такие состояния и позволяют получить вероятности переходов между ними.
Весь формализм в целом следует рассматривать как инструмент, с помощью которого могут быть сделаны либо совершенно определённые предсказания, либо предсказания статистического характера — в отношении сведений, которые могут быть получены в определённых экспериментальных условиях, причём эти условия описываются на классическом языке и конкретно определяются некоторыми параметрами, входящими в алгебраические или дифференциальные уравнения, решением которых являются соответственно матрицы или волновые функции. Эти символы сами по себе не поддаются наглядной интерпретации, на что указывает уже использование мнимых чисел; и даже получаемые вещественные функции, подобные плотностям и токам, следует рассматривать как характеристики вероятностей осуществления отдельных событий, которые могут наблюдаться в некоторых чётко определённых экспериментальных условиях.
Характерной чертой квантовомеханического описания является то, что задание состояния системы никогда не может означать точное определение обоих членов пары канонически сопряженных переменных 𝑞 и 𝑝. Фактически вследствие некоммутативное таких переменных, выражаемой равенствами (1) и (2), всегда должно выполняться соотношение
Δ
𝑞
⋅
Δ
𝑝
=
ℎ
4π
(3)
между минимальными значениями погрешностей Δ𝑞 и Δ𝑝, с которыми могут быть зафиксированы эти переменные. Эти так называемые соотношения неопределённости в явном виде обнаруживают ограниченность причинного анализа; однако важно иметь в виду, что невозможно дать этим соотношениям однозначной интерпретации, пользуясь словами, применяемыми для описания ситуации, в которой физические атрибуты воплощаются классически.
Таким образом, выражения типа «мы не можем одновременно знать импульс и координату электрона» сразу же порождают вопросы относительно физической реальности этих двух атрибутов, разрешить которые можно, лишь сославшись на взаимоисключающие условия, в которых допустимо использование пространственно-временно́го описания, с одной стороны, или динамических законов сохранения, с другой. В действительности всякая попытка зафиксировать расположение атомных объектов в пространстве и времени требует применения экспериментальной установки, допускающей принципиально неконтролируемый обмен энергией и импульсом между изучаемыми объектами и теми масштабами и часами, которые используются в качестве системы отсчёта. Обратно, любая установка, пригодная для проверки законов сохранения энергии и импульса, не позволяет произвести описания явления как цепи событий в пространстве и во времени.
Строго говоря, всякое применение динамических понятий означает анализ физических результатов (которые в конечном счёте сводятся к регистрации пространственно-временны́х совпадений) на основе классической механики. Таким образом, и при описании атомных явлений использование энергии и импульса в качестве переменных, характеризующих начальные условия и результаты наблюдений, неявно подразумевает упомянутый анализ и поэтому требует соблюдения условия, чтобы применяемые при этом экспериментальные установки имели пространственные размеры и интервалы временного разрешения, достаточно большие для того, чтобы можно было не принимать во внимание соотношения неопределённости, выраженного формулой (3). При таких условиях, конечно, вопрос о том, до какой степени классические аспекты явлений можно считать включёнными в соответствующее квантовомеханическое описание, в определённой мере решается из соображений удобства. При квантовомеханическом описании проводится принципиальное различие между измерительными приборами, трактовка которых всегда должна быть основана на пространственно-временно́й картине, и изучаемыми объектами, относительно которых можно делать проверяемые наблюдениями предсказания, вообще говоря, лишь с помощью очень ненаглядного формализма.
Можно заметить, кстати, что конструкция и принцип работы всех приборов, например диафрагм или затворов, определяющих геометрию и временные соотношения в данной экспериментальной установке, или фотопластинок, регистрирующих положение атомных объектов в пространстве, зависит от свойств материала, которые сами существенно определяются квантом действия. Тем не менее это обстоятельство не играет роли при изучении простейших атомных явлений, когда при определении экспериментальных условий даже с весьма высокой степенью точности мы всегда можем отвлечься от молекулярного строения измерительных приборов. Для этого достаточно лишь, чтобы приборы были значительно тяжелее исследуемых атомных объектов, и тогда мы можем, в частности, пренебречь описываемым формулой (3) требованием, относящимся к определению взаимного расположения в пространстве и во времени отдельных элементов прибора.
Квантовая механика, представляя собой обобщение классической механики с учётом существования кванта действия, в то же время оставляет достаточно широкие возможности для объяснения эмпирических закономерностей, которые не могут быть охвачены классическим способом описания. Помимо характерной стабильности атомов, которая явилась первым толчком к развитию квантовой механики, здесь можно указать на особые закономерности поведения систем, состоящих из тождественных частиц, подобных фотонам или электронам; эти закономерности играют важную роль в определении равновесия с излучением, а также существенных свойств материальных объектов. Известно, что такие закономерности адекватно описываются свойствами симметрии волновой функции, представляющей состояние всей системы. Конечно, связанные с этим проблемы не могут решаться применением какой бы то ни было экспериментальной установки, предназначенной для прослеживания поведения в пространстве и во времени каждой из тождественных частиц в отдельности.
Далее поучительно рассмотреть условия возможности определения координат и динамических переменных в каком-либо состоянии системы, состоящей из нескольких атомных частиц. Хотя любая пара канонически сопряженных переменных 𝑞, 𝑝 (координата и импульс) подчиняется правилу некоммутативного умножения, выражаемому формулой (1), так что допустимая точность их одновременного задания ограничена пределами (3), разность 𝑞1-𝑞2 координат двух частиц, входящих в состав системы, коммутирует с суммой 𝑝1+𝑝2 соответствующих этим координатам импульсов, что прямо следует из коммутативности 𝑞1 с 𝑝2 и 𝑞2 с 𝑝1. Поэтому как 𝑞1-𝑞2, так и 𝑝1+𝑝2 могут быть заданы в некотором состоянии сложной системы с произвольной степенью точности. Следовательно, мы можем предсказать значения либо 𝑞1 либо 𝑝1, если соответственно 𝑞2 или 𝑝2 определено непосредственным измерением. Можно добиться, чтобы в момент измерения прямое взаимодействие между двумя объектами полностью отсутствовало, и потому может показаться, что и 𝑞1, и 𝑝1 должны рассматриваться как чётко определённые физические атрибуты изолированного объекта. В связи с этим высказывалось мнение, что квантовомеханическое представление состояния не может являться адекватным способом полного описания физической реальности. Однако нужно подчеркнуть, отвечая на эти возражения, что любые две экспериментальные установки, допускающие точное измерение 𝑞2 или 𝑝1, оказываются несовместимыми, и потому предсказания относительно 𝑞1 или соответственно 𝑝1 принадлежат к роду явлений, в своей основе имеющих дополнительный характер.
