Особые трудности такого рода, которые обсуждались уже много лет, встречаются в проблеме так называемой собственной энергии точечного заряда. Не говоря уже о проблемах, известных в классической теории электрона и вызванных взаимодействием между заряженной частицей и создаваемым ею полем, в квантовой электродинамике мы должны даже в пространстве, свободном от фотонов, принять во внимание вклад в собственную энергию, обусловленный флуктуациями напряжённости поля.
Простые оценки этого вклада дают в первом приближении выражение вида
𝑊(𝑟)
∼
𝑒²ℏ
𝑚𝑐𝑟²
=
α
-1
𝑚𝑐
2
⎛
⎜
⎝
𝑒2
𝑚𝑐2𝑟
⎞2
⎟
⎠
,
(3)
где 2π𝑟 означает нижний предел длины волны учтенных компонент поля. Ввиду наличия множителя α-1 в этом выражении 𝑊(𝑟) очень велико по сравнению с 𝑚𝑐2 даже для 𝑟ℏ𝑟0; следовательно, подобные вычисления служат иллюстрацией радикального различия между проблемой собственной энергии в классической и в квантовой теориях.
Дальнейшие типичные различия появляются при учёте типа квантовых статистик тождественных частиц. Фактически в то время как выражение типа (3) сохраняется для частиц, которые подчиняются статистике Бозе, можно в первом приближении получить существенно другую формулу для электронов в дираковской теории дырок, основанной на принципе Паули. Как впервые было показано Вайскопфом, эта теория вследствие обменных эффектов между электроном и «морем» электронов с отрицательной энергией для полной полевой собственной энергии ведёт к выражению вида
𝑊(𝑟)
∼
α𝑚𝑐
2
ln
⎛
⎜
⎝
ℏ
𝑚𝑐𝑟
⎞
⎟
⎠
.
(4)
Особенно важно то, что это выражение в противоположность (3) мало по сравнению с 𝑚𝑐², если 𝑟∼𝑟0, хотя, конечно, оно становится бесконечным для 𝑟=0.
Интересная попытка избежать этих бесконечностей была недавно предпринята Пайсом, который показал, что в первом приближении можно получить в квантовой теории конечное выражение для собственной энергии точечного заряда, если постулировать связь не только через электромагнитное поле, но также через короткодействующее поле, вызывающее притяжение между электрическими зарядами одного знака на малых расстояниях. Эта идея, напоминающая собой одну из попыток избежать трудностей вследствие расходимостей в классической теории электрона, существенно предполагает использование короткодействующего поля, которое оказалось необходимым в теории ядерной материи. Однако в настоящее время, по-видимому, трудно судить о справедливости такой гипотезы для проблемы собственной энергии, так как в рассматриваемой области ситуация оказывается в других отношениях существенно изменённой дальнейшими следствиями теории дырок.
Помимо сказанного выше тот факт, что при взаимодействии фотонов достаточно больших энергий могут рождаться электронные пары, требует более глубокого анализа непротиворечивости квантовой теории поля в пределах высоких частот. Фактически для длин волн, сравнимых с 𝑟0, вычисленные сечения для фотон-фотонного взаимодействия становятся так велики, что нарушается фундаментальный принцип теории поля — принцип суперпозиции. Следовательно, в этой области вся процедура последовательных приближений едва ли является адекватным приближением к проблеме взаимодействия частиц и полей. Как было указано некоторое время назад рядом авторов, в особенности Борном, обстоятельства таковы, что предел непосредственного применения понятий квантовой теории поля в случае электронов и электромагнитных полей оказывается сравнимым с 𝑟0. Это, по-видимому, оставляет открытой возможность того, что правильная трактовка проблемы собственной энергии для массы электрона, несмотря на её существенно другую природу, должна напоминать собой программу, намеченную классической теорией электрона.
В случае нуклонов проблема собственной энергии первоначально связывалась с их твердой сердцевиной, взаимодействующей с мезонным полем. Здесь предел прямой применимости полевых понятий должен лежать вследствие подобных аргументов относительно выше, чем для электронов, но, однако, значительно ниже, чем 𝑟0, ввиду большой массы нуклонов, как это и предполагается во всех теориях ядерной материи, где ядра трактуются как точечные массы, подверженные действию сил, выведенных из простого линейного мезонного поля. В противоположность часто высказываемой точке зрения, состоящей в том, что последовательная теория элементарных частиц потребует существенно нового отправного пункта, включающего универсальную длину порядка 𝑟0, такой анализ будет, по-видимому, предполагать, что корни ограниченности сферы применимости обычной процедуры лежат в основах квантовой теории, причём признаки этого имеются уже в современном формализме. Это и может явиться ключом к установлению размерного соотношения, которое будет характеризовать разумные ограничения фундаментальных понятий частицы и поля.
Проблема квантованного поля (типа мезонного) в некоторых аспектах существенно отличается от той, что обсуждалась выше. Во-первых, происхождение массы мезона нельзя искать главным образом во взаимодействии с полем, действующим на него, хотя оно и связано непосредственно с радиусом действия самого мезонного поля. Далее, несовместимость локализации энергии поля с фиксированием числа квантов поля будет, по-видимому, существенно ограничивать концепцию частицы в области большей, чем радиус действия поля, который для мезона сравним с 𝑟0. Более того, собственная энергия электромагнитного поля заряженных мезонов, подчиняющихся статистике Бозе, в первом приближении будет выражаться формулой типа (3), причём эффективное обрезание электромагнитного поля при 𝑟∼𝑟0 ведёт к вкладу по порядку величины αμ𝑐, так как масса мезона μ сравнима с α-1𝑚. То обстоятельство, что эта величина мала по сравнению с энергией покоя мезона, фактически согласуется с лежащим в основе современной мезонной теории предположением, что с точностью до высших приближений массы заряженного и нейтрального мезонов равны. Хотя поточность такого рассмотрения очевидна, оно тем не менее может служить иллюстрацией того, как тесно постоянная α, играющая такую фундаментальную роль в атомной теории, оказывается связанной с другими безразмерными постоянными типа отношения между электронной, мезонной и нуклонной массами, как это часто предполагается.
По-видимому, не исключено, что анализ условий непротиворечивости теории атомных явлений в подобных направлениях может привести к новым аргументам для установления истинного численного значения всех этих констант.
В этой связи стоит обратить внимание на очевидные парадоксы как в квантовой теории поля, так и в теории электрона Дирака, которые предполагают существование плотности энергии и заряда в свободном пространстве, что в большой степени согласуется с основами общей теории относительности даже с учётом предполагаемых ограничений концепций поля и частицы. В то время как плотность заряда, соответствующая «морю» электронов, может считаться нейтрализованной при аналогичной трактовке проблемы протона, компенсация отрицательной плотности энергии может потребовать введения в эту картину положительной энергии поля в низшем состоянии. В настоящее время, по-видимому, нет смысла проводить подобное рассмотрение более детально; оно лишь указывает на то, как тесно могут быть связаны понятия поля и частицы в будущей теории, и подчёркивает дуалистический характер этих понятий. Это имеет свои корни в том обстоятельстве, что такие свойства частиц, как масса и заряд, определяются полем сил, которое они вызывают, или действием поля на них; и, наоборот, поля сами определяются через их действие на частицы.
