Из формул (7) видно, что ω𝑛 для больших 𝑛 стремится к нулю и что одновременно дробь ω𝑛/ω𝑛+1 стремится к единице. Согласно нашей теории, частота излучения при переходе от (𝑛+1)-го к 𝑛-у стационарному состоянию равна
1
ℎ
=
(
𝐴
𝑛+1
-
𝐴
𝑛
).
При больших 𝑛 это выражение приближается к
1
⋅
𝑑𝐴
𝑛
.
ℎ
𝑑𝑛
Согласно обычной электродинамике, следовало бы ожидать, что частота обращения равняется частоте излучения и, следовательно, для больших 𝑛
𝑑𝐴𝑛
𝑑𝑛
=
ℎω
𝑛
.
(8)
Если вместо 𝐴𝑛 и ω𝑛 подставить значения, заданные формулами (5) и (7), то мы увидим, что 𝑛 исключается из этого соотношения и условие равенства частот принимает вид
𝐾
=
2π2𝑒4𝑚𝑀
ℎ3(𝑀+𝑚)
.
(9)
Из непосредственных наблюдений следует, что 𝐾=3,290⋅1015. Подставив новейшие значения для 𝑒, 𝑚 и ℎ 1 мы получим для правой части выражения (9) 3,26⋅1015. Эти значения 𝐾 совпадают в пределах ошибок опытов при определении 𝑒, 𝑚 и ℎ. Из этого можно заключить, что искомое соотношение между нашей теорией и обычной электродинамикой действительно существует. Из формул (7) и (9) получаем
𝑊
𝑛
=
2π2𝑒4𝑚𝑀
𝑛2ℎ2(𝑀+𝑚)
, ω
𝑛
=
4π2𝑒4𝑚𝑀
𝑛3ℎ3(𝑀+𝑚)
, 2𝑎
𝑛
=
𝑛2ℎ2(𝑀+𝑚)
2π2𝑒2𝑚𝑀
.
(10)
1 N. Bohr. Phil. Mag., 1913, 26, 487 (статья 5, часть II).
Для значения 𝑛=1, соответствующего нормальному состоянию атома, мы получаем 2𝑎=1,1⋅10-8, т. е. величину такого же порядка, какую даёт кинетическая теория газов для диаметра атома. Но для больших 𝑛 значение 2𝑎 больше, чем значения обычных атомных размеров. Как я уже указывал в предыдущих работах, этот результат может находиться в соответствии с тем, что в вакуумных трубках линии водорода для больших значений 𝑛 в формуле Бальмера не появляются. Однако эти линии наблюдаются в спектрах звёзд. Из рассуждений следующего раздела будет вытекать, что большое значение диаметра орбиты даёт объяснение поразительно большой величине эффекта Штарка.
Из формул (10) следует, что условие (8) пригодно для всех 𝑛, а не только для больших значений. Далее, для стационарной орбиты полная энергия 𝑊 равна среднему значению полной кинетической энергии частиц 𝑇; следовательно, из (10) мы получаем
𝑇
𝑛
=
1
2
𝑛ℎω
𝑛
(11)
Используя выражение (6), мы допускали, что движение частиц в стационарных состояниях может быть описано в рамках классической механики. Из этого предположения в общем случае можно показать, что условия (8) и (11) равносильны. Рассмотрим частицу, движущуюся по замкнутой орбите в стационарном поле. Пусть ω — частота обращения, 𝑇 — среднее значение кинетической энергии за один оборот и 𝑊 — среднее значение суммы кинетической и потенциальной энергии частицы в стационарном поле. Применяя принцип Гамильтона, при малом изменении орбиты получаем
δ𝑊
=
-2ωδ
⎧
⎪
⎩
𝑇
ω
⎫
⎪
⎭
.
Если новая орбита также соответствует динамическому равновесию, то мы получим δ𝐴 = -δ𝑊, где 𝐴 — полная энергия системы, и видим, что эквивалентность формул (8) и (11) следует непосредственно из условия (12). В этих выводах мы не сделали никаких предположений о величине эксцентриситета орбиты. Если орбиты круговые, то условие (11) равносильно простому условию, что момент импульса системы в стационарных состояниях равен целому кратному ℎ/2π 1.
1 Ср.: Z. W. Nicholson. Month. Not. Roy. Astr. Soc., 1912, 72, 679.
В вибраторах Планка частицы удерживаются вместе благодаря квазиупругим силам. Среднее значение кинетической энергии равно среднему значению потенциальной энергии соответствующих смещений. В результате этого (11) представляет собой полную аналогию первоначальному соотношению Планка
𝑈 = 𝑛ℎν
между энергией 𝑈 монохроматического вибратора и его частотой ν. Эта аналогия позволяет дать другое изложение данной теории, более сходное с тем, которое содержится в моих предыдущих работах 1. Если же рассматривать большое различие между предпосылками, лежащими в основе соотношения (11), с одной стороны, и условия Планка — с другой, то было бы удобнее искать основу наших рассуждений не в формальной аналогии, а непосредственно в основополагающем условии (1) и в закономерностях линейчатого спектра.
1Дополнение при корректуре.— Э. Герке [Phys. Zeitschr., 1914, 15, 123) попытался представить теорию спектра водорода несколько иным образом, чем это было сделано в моих предыдущих работах. Он использовал метод, подобный предложенному мною, но даже не пытался найти механическое объяснение соотношению Планка между частотой излучения и количеством излучённой энергии; он также не пытался дать механическую интерпретацию динамического равновесия атоме в его возможных стационарных состояниях, или получить соответствие классической механике в области малых частот.
При обсуждении сложной структуры спектров других элементов мы должны предположить, что атомы этих элементов обладают несколькими рядами различных стационарных состояний. Эта сложность совокупности стационарных состояний по сравнению с атомом водорода выглядит вполне естественно вследствие наличия большого числа электронов в тяжелых атомах. Это и делает возможным большое число различных типов конфигураций частиц.
С точностью до произвольной постоянной энергия 𝑛-го состояния в 𝑟-й серии, согласно соотношениям (1), (2) и (3), будет
𝐴
𝑛,𝑟
=-
ℎ𝐾
𝑛²
Φ
𝑟
(𝑛)
.
(13)
Излагаемая теория недостаточно разработана, чтобы подробно рассчитать выражение (13) для 𝐴𝑛,𝑟. Но можно получить простую интерпретацию того, что в каждой серии для больших значений 𝑛 функция Φ𝑟(𝑛) стремится к единице.
Допустим, что в стационарных состояниях один из электронов движется на достаточно большом расстоянии от ядра (по сравнению с расстоянием других электронов). Если атом нейтральный, то внешний электрон будет подвергаться действию таких сил, которые близки силам, действующим на электрон в атоме водорода. Исходя из этого, выражение (13) можно интерпретировать следующим образом: существует большое число рядов стационарных состояний атома, в которых конфигурация внутренних электронов остаётся приблизительно одинаковой для всех состояний внутри данной серии, в то время как для внешних электронов эта конфигурация меняется от состояния к состоянию приблизительно так же, как и в атоме водорода.
Очевидно, что эти рассуждения открывают возможность простого объяснения появления постоянной Ридберга в формуле для спектральных серий каждого элемента. Однако в этой связи следует отметить, что исходя из данной точки зрения постоянная Ридберга не совсем одинакова для всех элементов, поскольку выражение (8) для 𝐾 зависит от массы центрального ядра. Поправка, соответствующая конечной величине 𝑀, очень мала для элементов с большим атомным весом и сравнительно велика для водорода. Поэтому недопустимо вычислять постоянную Ридберга непосредственно из спектра водорода. В то время как общепринятое значение постоянной Ридберга есть 109 675, её теоретическое значение для тяжелого атома равно 109 735.
