1
ℎ
∫∑
ω
𝑟
𝑑𝐽
𝑟
.
(21)
Если квантовые числа 𝑛𝑟' и 𝑛𝑟'' велики по сравнению с их разностью 𝑛𝑟'-𝑛𝑟'' вследствие чего движения в двух состояниях, характеризующихся этими квантовыми числами, отличаются друг от друга незначительно, то при интегрировании частоты в подынтегральном выражении можно считать постоянными. Учитывая это, а также условия (A), мы получаем асимптотическое соотношение
ν∼
𝑢
∑
1
(𝑛
𝑟
'-𝑛
𝑟
'')
ω
𝑟
.
Итак, мы видим, что частота излучения ν асимптотически совпадает с частотой τ1ω1+…+τ𝑢ω𝑢 гармонической компоненты колебаний, появляющейся согласно выражению (2), в движении системы, именно той частотой, для которой выполняются соотношения (20).
Что касается частоты появления различных возможных переходов, то на основании изложенного получаем, что в области больших квантовых чисел имеется связь между частотами компонент колебаний и частотами дуга волн, которые испускаются при переходе; исходя из этого предположим сначала, что интенсивность различных спектральных линий в этой граничной области приближённо определяется амплитудой соответствующей компоненты колебания электрического момента системы; она определяется таким же образом, как и в случае классической электродинамики в соответствии с формулой (19). Отсюда можно прийти к выводу, что переход с излучением обусловлен наличием соответствующих колебаний в движении атома. Что касается допустимости рассмотрения полученной асимптотической связи как общего закона квантовой теории процессов излучения, то следует напомнить следующее. Как и в упомянутом выше принципе соответствия, в указанной граничной области больших квантовых чисел речь идёт не о постепенном уменьшении различия между квантово-теоретическим описанием явлений излучения и представлениями классической электродинамики, а только об асимптотическом соответствии статистическим результатам. Как мы увидим далее, применимость этого принципа к освещению вопросов квантовой теории связана в первую очередь именно с этим пунктом.
Если нас интересуют абсолютные значения коэффициентов вероятности, введённых Эйнштейном в теорию теплового излучения, которые являются мерой частоты переходов, связанных с излучением, то следует отметить следующее. Приведённые выше рассмотрения позволят нам в области больших квантовых чисел легко вычислить эти коэффициенты с помощью амплитуд соответствующих гармонических компонент движения. Отсюда видно, что только в этой граничной области амплитуды в начальном и конечном состояниях приблизительно равны. Вообще же мы должны быть готовы к тому, что в двух различных состояниях как частоты этих компонент, так и рассматриваемые амплитуды могут быть совершенно различными. Однако возможность найти общее выражение для указанных коэффициентов с помощью механических символов, по-видимому, не может быть исключена. Подтверждением этого может служить замечание, что частота перехода между двумя любыми стационарными состояниями многократно периодической системы может быть выражена как простое среднее значение частот соответствующих колебаний в непрерывной последовательности состояний движения, надлежащим образом выбранной из общего решения уравнений (1). Снова рассмотрим переход между двумя стационарными состояниями, для которых квантовые числа в условиях (А) равны, например, 𝑛𝑟' и 𝑛𝑟''. Рассмотрим далее состояния, в которых переменные действия 𝐽1, …, 𝐽𝑢 служащие для определения стационарных состояний, даются выражением
𝐽
𝑟
(λ)
=
ℎ[
𝑛
𝑟
''
+
λ(𝑛
𝑟
'-𝑛
𝑟
'')
],
где параметр λ может принимать все значения между 0 и 1. Как видно непосредственно из соотношений (2) и (3), выражение для частоты v излучения при переходе можно записать в следующем виде:
ν=
1
∫
0
∑
(𝑛
𝑟
'-𝑛
𝑟
'')
ω
𝑟
(λ)
𝑑λ
.
Поэтому частота системы волн, излучённых при переходе, может рассматриваться как среднее значение частот соответствующих колебаний в ряду «промежуточных состояний». Крамерс указал на эту простую зависимость в статье, содержащей обстоятельное исследование применения принципа соответствия к вопросу об интенсивности спектральных линий. В этой статье он рассмотрел также возможность получения общего выражения для вероятности перехода с помощью должным образом выбранного среднего по промежуточным состояниям значения величин, определяющих, согласно классической теории, энергию излучения, сопровождающего соответствующие колебания электрического момента атома 1.
1 Н. A. Kramers. Kgl. Danske Vidensk. Selsk. Skrifter, 8. Raekke, 111. Хотя этот важный вопрос ещё не решен, следует заметить, что вытекающее из «спектроскопической стабильности» доказательство приведённого на стр. 110 статьи Крамерса выражения не может быть получено непосредственно (ср. стр. 510).
§ 3. Принцип соответствия и определение стационарных состояний
Хотя принцип соответствия и не даёт нам прямых сведений о природе процессов излучения и о причине стабильности стационарных состояний, он освещает применение квантовой теории таким образом, что для этой теории можно предполагать наличие внутренних связей, аналогичных соотношениям классической теории. Прежде всего при обосновании стационарных состояний отчётливо выступает роль свойств периодичности движения. Затем предположение, что число квантовых условий (А) равно степени периодичности, превращается в требование, необходимое для получения однозначного соответствия между различными типами переходов и типами гармонических компонент движения. Введение добавочных условий также объясняется очень просто, если принять, что под действием внешних сил степень периодичности возрастает. А именно, мы можем считать эти условия непосредственным требованием соответствия между появляющимися при секулярных возмущениях новыми медленными гармоническими колебаниями и теми процессами перехода, в которых изменяются только новые квантовые числа, соответствующие добавочным условиям, а квантовые числа, соответствующие невозмущённому движению, остаются неизменными 1.
1 См. работу I, ч. 2, § 2, стр. 58. Особенно простое применение этой точки зрения показано на примере воздействия внешних электрических и магнитных полей на спектральные линии водорода. См.: N. Воhr. Zs. Phys., 1920, 2, 423 (статья 14).
В этой связи небезынтересно отметить, что принцип соответствия позволяет пролить свет на некоторые кажущиеся парадоксы, с которыми мы встречаемся при определении стационарных состояний однократно и многократно периодических систем; при этом движение в течение интервалов времени, имеющих тот же порядок величины, что и основной период движения, характеризуется такими свойствами периодичности, которые, будучи рассмотрены сами по себе, привели бы к полному изменению определения стационарных состояний, чем те, к которым можно прийти в результате процесса, описанного в § 2 гл. I, если учитывать точные свойства периодичности системы. Для облегчения обсуждения назовём точные периоды системы «макропериодами», тогда как периоды, характеризующие свойства квазипериодичности,—«микропериодами». Когда микропериоды очень малы по сравнению с макропериодами, возникают кажущиеся парадоксы. Из соотношений (А) и (В) может показаться на первый взгляд, что мы натолкнулись на странное расхождение с выводами классической теории, поскольку распознать микропериодические свойства движения в спектре было бы невозможно. Однако это не так, ибо если более детально рассмотреть вероятность различных квантовых скачков, то можно увидеть, что скачки, при которых квантовые числа состояний, определяемых макропериодами, изменяются на много единиц, являются наиболее вероятными, поскольку эти скачки вызываются появлением некоторых обертонов или групп обертонов с очень большими амплитудами, обусловленных микропериодами. Благодаря этому микропериоды обнаруживаются в спектре аналогично тому, как в соответствии с классической теорией они появляются в излучении. Вообще же это применение принципа соответствия, на которое обратили внимание Эренфест и Брейт 1 в недавно появившейся работе, даёт отчётливое представление о том, насколько тесная связь между излучением и движением существует в квантовой теории в противоположность принципиальному различию между характером этих постулатов и континуальным описанием процессов в классической теории. Специфическая трудность, на которую наталкиваются в случае, когда макропериоды чрезвычайно велики по сравнению с микропериодами, и на которую обратили внимание упомянутые авторы, заключается, по-видимому, в ограничении законности постулатов; более подробно она будет рассмотрена в следующем параграфе (см. стр. 513).
