Δ𝐸=
2
3
(2π)
4
𝑒2
𝑐2
ν
4
𝐴
2
δ𝑡
,
(19)
где Δ𝐸 — энергия, излучаемая за время δ𝑡, а 𝐴2- среднее значение квадрата амплитуды колебаний гармонических компонент электрического момента, относящихся к соответствующим частотам. Ниже будет показано, что каждый обмен энергией между атомом и полем излучения в соответствии с классической теорией обусловлен присутствием систем волн в этом поле, частоты которых близки к частоте одной из гармонических компонент электрического момента атома. Результат этого обмена зависит не только от амплитуд этих систем волн и соответствующих им компонент колебания, но также и от разности фаз между ними, причём таким образом, что в зависимости от величины этой разности фаз атом будет получать или отдавать энергию.
В соответствии с постулатами квантовой теории мы не только отказываемся от каждой такой непосредственной связи между движением атома и процессом испускания или поглощения, но и вынуждены ещё дальше отойти от обычного описания природы, принимая, что результат такого процесса зависит как от начального, так и от конечного состояния. Для процесса излучения эта связь отчётливее всего проявляется, пожалуй, в том, что на основе постулата одно и то же стационарное состояние атома может служить началом для совершенно различных процессов излучения, которые соответствуют переходу из этого состояния в другие стационарные состояния. Однако современная теория не позволяет связывать появление переходов с излучением или выбор между различными возможными процессами перехода непосредственно с каким-либо воздействием, которое мы до сих пор использовали при описании явлений. При этом мы естественно приходим к методу рассмотрения, который впервые был применён Эйнштейном в его выводе закона теплового излучения на основе постулата квантовой теории в данной здесь форме. Согласно этому способу рассмотрения, мы не интересуемся «причиной» появления переходов с излучением, а просто принимаем, что эти процессы подчиняются вероятностным законам. Итак, вместе с Эйнштейном примем, что в стационарном состоянии атом имеет некоторую вероятность перехода в состояние с меньшей энергией, который совершается спонтанно, т. е. без видимого внешнего повода, с испусканием излучения в течение заданного интервала времени. Эта вероятность, точно так же как и в процессах радиоактивности, пропорциональна величине интервала времени, а коэффициент пропорциональности, так называемый коэффициент вероятности 1, является характерным для рассматриваемых процессов перехода и зависит только от природы системы. В этой связи Эйнштейн подчеркнул формальную аналогию, которая характеризует эту гипотезу, несмотря на её чуждый представлениям обычной электродинамики характер. В классической электродинамике не идёт речь о вероятностных законах, а излучение, как было описано выше, считается обусловленным только самой системой, а не внешними причинами. В тесной связи с этой аналогией стоят введённые Эйнштейном предположения относительно действия внешнего излучения на атомную систему. Как уже указывалось выше, по классической теории облучение атома волнами с частотой, близкой одной из характеристических частот колебания системы, приводит в зависимости от разности фаз между волнами и колебаниями атома к увеличению или уменьшению энергии системы. По аналогии с этим Эйнштейн предположил, что результат облучения атомов волнами, частоты которых удовлетворяют соотношению (В), может быть описан следующим образом. Атомам, обладающим энергией 𝐸'', приписывается вероятность перехода в состояние с большей энергией 𝐸' при поглощении количества энергии ℎν, тогда как атомы с энергией 𝐸' характеризуются вероятностью перехода в состояние с энергией 𝐸'' при испускании излучения с частотой ν. В обоих случаях коэффициент вероятности будет приниматься пропорциональным плотности энергии излучения для рассматриваемой частоты.
1 Теперь эти коэффициенты называют «коэффициентами Эйнштейна».— Прим. ред.
Несмотря на большое значение эйнштейновского способа рассмотрения, вследствие его несомненного успеха, во многих отношениях он может рассматриваться лишь как предварительное решение. Это видно уже из формулировки гипотезы, в которой непосредственно не включается в рассмотрение длительность процессов перехода, играющая, как мы увидим позднее, существенную роль в описании явлений. Приближённый характер этих предположений проявляется также в том, что для атомных систем, подвергающихся облучению столь большой интенсивности, что внешние электромагнитные силы уже не являются малыми по сравнению с силами, действующими между частицами в невозмущённой системе, описание стационарных состояний невозможно без учёта поля излучения. Последнее обстоятельство снова приводит нас к вопросу о квантово-теоретическом рассмотрении незамкнутых систем. К этому вопросу мы вернёмся несколько позже в настоящей главе.
§ 2. Принцип соответствия
Несмотря на принципиальные расхождения постулатов квантовой теории с классической электродинамикой, оказалось всё же возможным на основе соотношений (A) и (B) установить некоторым образом связь между процессом излучения и движением в атоме. При этом метод сопоставления даёт объяснение тому, что законы классической теории пригодны для описания явлений в некоторой граничной области. Это достигается тем, что различным возможным процессам излучения ставятся в соответствие различные гармонические компоненты колебаний, выступающие в описании движения атома; иными словами, принимается, что возможность перехода между двумя стационарными состояниями многократно периодической системы, характеризующимися квантовыми числами соответственно 𝑛1', …, 𝑛𝑢', и 𝑛1'', …, 𝑛𝑢'', сопровождающегося излучением, обусловлена теми гармоническими компонентами колебания в выражении (2) для электрического момента атома, для которых частота τ1ω1+…+τ𝑢ω𝑢 удовлетворяет соотношениям
τ
1
=𝑛
1
', …, 𝑛
1
''
, …,
τ
𝑢
=𝑛
𝑢
', …, 𝑛
𝑢
''
.
(20)
Поэтому такие компоненты мы назовём «соответствующими» компонентами колебаний, а сущность приведённого выше рассуждения —«принципом соответствия» для многократно периодической системы 1.
1 В работе I это название ещё не используется, но содержание принципа формулируется там как формальная аналогия между квантовой и классической теориями. Однако такая формулировка могла быть источником ошибок, поскольку, как мы увидим в дальнейшем, принцип соответствия должен рассматриваться как чисто квантово-теоретический закон, который никоим образом не может уменьшить контраст между этими постулатами и классической электродинамикой.
При исследовании условия того, что в области больших квантовых чисел описание явлений на основе рассматриваемого постулата асимптотически соответствует результатам классической теории, применимость которой к статистической проблеме, по-видимому, правомерна, для объяснения появления процесса излучения пользуются, как известно, упомянутым выше законом. Рассмотрим многократно периодическую систему, стационарные состояния которой определяются условиями (A). Из соотношения (B) с учётом уравнений (7) мы получим для частоты излучения при переходе из одного стационарного состояния с квантовым числом 𝑛𝑟' в другое состояние с квантовым числом 𝑛𝑟'' (𝑟=1, …, 𝑢) выражение
ν=
1
ℎ
[𝐸'-𝐸'']
=
