Формальные основания теории квантов не ограничиваются, однако, условием частот: имеются также некоторые условия, позволяющие определить стационарные состояния атомной системы; подобно условию частот, они являются рациональным обобщением гипотезы Планка о взаимодействии простейших электродинамических систем и окружающего их электромагнитного поля излучения. Я не стану подробно останавливаться на этих условиях, укажу только, что они позволяют характеризовать стационарные состояния несколькими целыми числами, так называемыми квантовыми числами. Для такого простого периодического движения, которое мы предположили в атоме водорода, стационарные состояния определяются только одним квантовым числом. Оно определяет энергию атома и отсюда большую ось электронной орбиты, оставляя неопределённым эксцентриситет орбиты. Вычисления показывают, что энергия в различных состояниях, если пренебречь небольшим движением ядра, выражается в виде
𝐸
𝑛
=-
2π2𝑁2𝑒4𝑚
𝑛2ℎ2
,
(5)
где 𝑒 и 𝑚 — заряд и масса электрона; заряд ядра для дальнейших применений мы обозначаем через 𝑁𝑒. Целое число 𝑒 — квантовое число, характеризующее различные состояния.
Для атома водорода 𝑁 = 1, и сравнение с уравнением (3) приводит к следующему теоретическому значению постоянной 𝐾 в формуле (2):
𝐾
=-
2π2𝑒4𝑚
ℎ3
.
(6)
В пределах точности измерения величин, входящих в эту формулу, вычисленное значение 𝐾 совпадает с эмпирическим значением постоянной водородного спектра. Подставим в формулу (5) 𝑁 = 2, что соответствует атому с ядром, имеющим удвоенный заряд, вокруг которого вращается один электрон; для энергии 𝐸𝑛 получим при этом значение, вчетверо большее, чем для спектра водорода, а выражение для спектра излучения, испускаемого при образовании этого атома, будет иметь вид
ν
=
4𝐾
⎧
⎪
⎩
1
(𝑛'')²
-
1
(𝑛')²
⎫
⎪
⎭
.
(7)
Эта формула соответствует определённым линиям, известным уже давно; эти линии приписывались ранее водороду в силу большого сходства формул (2) и (7). Однако, согласно нашей теории, излучение с таким спектром должно сопровождать первую стадию образования атома гелия, т.е. связывание первого электрона двукратно заряженным ядром этого атома. Более поздние опыты подтвердили такое толкование; в частности, удалось получить такой спектр в чистом гелии. Я задержался на этом пункте, чтобы показать, что столь тесная связь между свойствами двух различных элементов как раз и служит выражением простоты строения, характеризующей ядерную модель. Вскоре после выяснения данного вопроса выявился новый, крайне интересный факт сходства между свойствами элементов. Я говорю о фундаментальных работах Мозли о рентгеновских спектрах элементов. Мозли, как известно, нашёл, что эти спектры изменяются крайне просто при переходе от одного элемента в периодической системе к следующему. Соответственно различным характерным областям поглощения элемента для рентгеновских лучей, найденным ещё Баркла, линии рентгеновских спектров могут быть разделены на группы с различной проникающей способностью. В линиях так называемой 𝐾-группы, обладающей наибольшей проникающей способностью и излучаемой элементами при бомбардировке их катодными лучами, Мозли нашёл, что частота колебаний самой сильной линии группы для всех исследованных элементов выражается следующей формулой, которая при некотором упрощении может быть записана в форме
ν
=
𝑁²𝐾
⎧
⎪
⎩
1
1²
-
1
2²
⎫
⎪
⎭
.
(8)
Здесь 𝐾 — та же самая постоянная, что и в спектре водорода, 𝑁 — номер соответствующего элемента в периодической системе. Большое значение этого открытия заключалось прежде всего в том, что оно привело к всеобщему признанию той гипотезы, что так называемый атомный номер равен числу электронов в атоме данного элемента; эта гипотеза и ранее принималась в основу работ по строению атома и впервые высказана ван ден Бруком. В то время как значение результата Мозли в этом отношении было ясно с самого начала, значительно труднее было понять глубокую аналогию между рентгеновскими спектрами и спектром водорода. Это сходство обнаруживается не только для линий 𝐾-группы, но и для менее проникающих рентгеновских лучей. Мозли нашёл, например, что для всех исследованных веществ частоты колебаний самой сильной линии так называемой 𝐿-группы выражаются формулой [с таким же упрощением, как и в формуле (8)]
ν
=
𝑁²𝐾
⎧
⎪
⎩
1
2²
-
1
3²
⎫
⎪
⎭
(9)
В обоих случаях мы имеем выражения для частот колебаний, которые соответствуют линиям спектров излучения при захвате на орбиту электрона ядром с зарядом 𝑁𝑒.
Это сходство строения рентгеновских спектров и спектра водорода было ещё чрезвычайно интересно углублено Зоммерфельдом в его замечательной теории тонкой структуры линий водорода. Мы говорили выше о том, что стационарные состояния атома водорода определяются всего одним квантовым числом, предполагая при этом, что орбита электрона в атоме чисто периодическая. Это лишь приближённо верно. Если учесть зависимость массы электрона от скорости, то электрон уже не будет описывать простой эллипс, а начнёт совершать центральное движение, которое может быть описано как слагающееся из чисто периодического движения по орбите, очень мало отличающейся, от эллипса, и медленного равномерного вращения. Стационарные состояния такого центрального движения определяются двумя квантовыми числами. Одно из них в рассматриваемом случае можно выбрать так, что оно будет в хорошем приближении определять энергию атома; энергия при этом определяется совершенно так же, как и в том случае, когда мы предполагали, что орбита электрона в атоме водорода — строго эллиптическая, определяемая одним квантовым числом. Квантовое число, определяющее приближённо энергию, мы будем называть ниже «главным квантовым числом» и обозначать через 𝑛. Кроме этого условия, определяющего с большим приближением большую ось вращающейся почти эллиптической орбиты, на стационарные состояния центрального движения накладывается ещё второе условие: момент количества движения относительно центра, так называемый момент импульса, должен быть целым кратным постоянной Планка, делённой на 2π. Целое число, фигурирующее в виде множителя в выражении для этой величины, можно рассматривать как второе квантовое число; мы будем обозначать его через 𝑘. Это последнее условие ближе определяет в данном случае эксцентриситет вращающейся, почти эллиптической орбиты. В связи с этим замечу, что возможный смысл момента импульса в квантовой теории был указан Никольсоном ещё до применения этой теории к спектру водорода; а способ определения стационарных состояний атома водорода, применённый Зоммерфельдом, был почти одновременно предложен В. Вильсоном, хотя последнему и не удалось использовать полученный результат.
Форма вращающейся, почти эллиптической орбиты электрона а атоме водорода проще всего определяется так называемым параметром, т.е. хордой, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси. Длина этого параметра с большим приближением выражается формулой, очень похожей на соотношение для большой оси с той разницей, что 𝑛 заменено на 𝑘. Пользуясь теми же обозначениями, что и раньше, мы находим
