Пуанкаре не только позволяет проводить над собой наблюдения, но и сам пристально всматривается, вникает, вслушивается в свой творческий процесс. Эта склонность к самоанализу и самонаблюдению нашла свое отражение в его знаменитом докладе, сделанном в 1908 году в Париже на заседании Психологического общества. "Математическое творчество" — так называется эта работа. В ней автор как бы раздваивается: выступает и как исследователь, и как объект исследования. Пуанкаре не придерживается широко распространенного в научных кругах мнения, что науке принадлежат лишь результаты исследования с их доказательствами, а пути подхода к истине остаются за ее пределами. Именно "процесс математической мысли" анализирует он в своем докладе. Особенно интересуют его внезапные интуитивные озарения, когда словно при вспышке молнии к ученому приходит непосредственное усмотрение истины. Счастливая мысль осеняет творца, как правило, не в то время, когда он трудится над проблемой, а после того, как, не найдя решения, он временно откладывает задачу, забывает о ней. Идея рождается либо благодаря ничтожному намеку, либо же без всякого видимого внешнего толчка, свидетельствуя о подсознательной работе, совершающейся в мозгу независимо от воли и сознания. Эти наблюдения Пуанкаре полностью совпадают с тем, что сообщали ранее Гельмгольц и Гаусс. Французский ученый иллюстрирует свои умозаключения примерами из раннего этапа своей научной деятельности, когда он работал над фуксовыми функциями. Примеры эти стали ныне хрестоматийными и много раз уже цитировались в литературе о научном творчестве.

Как и Гельмгольц, Пуанкаре отмечает, что "эти внезапные вдохновения происходят лишь после нескольких дней сознательных усилий, которые казались абсолютно бесплодными, когда предполагаешь, что не сделано ничего хорошего и когда кажется, что выбран совершенно ошибочный путь. Эти усилия, однако, не являются бесполезными, как это думают; они пустили в ход машину бессознательного, без них она не пришла бы в действие и ничего бы не произвела". Скачок воображения лишь венчает длительные и упорные размышления над проблемой. После Гельмгольца и Пуанкаре необходимость предварительной интенсивной работы, пусть даже не приносящей прямых результатов, была признана психологами, изучавшими условия совершения интуитивных открытий.

"Я-подсознательное" нисколько не является низшим по отношению к «я-сознательному», — заключает Пуанкаре, — оно не является чисто автоматическим, оно способно здраво судить, оно имеет чувство меры и чувствительность, оно умеет выбирать и догадываться. Да что говорить, оно умеет догадываться лучше, чем мое сознание, так как преуспевает там, где сознание этого не может". Не следует ли отсюда, что бессознательное выше, чем сознание? Именно к такому выводу пришел Эмиль Бутру, выступавший на заседании Психологического общества двумя месяцами раньше. Бессознательное, к которому он относит и религиозное чувство, является, по его мнению, источником наиболее тонкого, истинного познания. Только что доложенные Пуанкаре факты как будто бы тоже подтверждают идеалистические взгляды Бутру. Но Пуанкаре категоричен в своем неприятии этой чуждой для него точки зрения: "Я утверждаю, что не могу с этим согласиться".

Много времени прошло с тех пор, как Бутру опубликовал свои работы о законах науки,[69] но только сейчас, в конце первого десятилетия XX века, Пуанкаре решил выступить с критикой его взглядов. Причин тому было несколько. Прежде всего, в 1908 году вышла новая книга Бутру "Наука и религия в современной философии", в которой он идет еще дальше по пути мистицизма и спиритуализма. И Пуанкаре воочию убеждается, что своими лекциями и работами Бутру оказывает значительное влияние на французских философов. Авторитетный профессор Высшей Нормальной школы и Парижского университета становится основоположником и главой особого философского учения — "философии случайности", основная задача которой заключалась в том, чтобы ограничить значение законов науки.

Общественная атмосфера как нельзя более благоприятствовала расцвету таких иррационалистических учений. Это было время кризиса во всем: в науке, в искусстве, в политике. Ромен Роллан писал в те годы: "За последние полвека наш духовный мир преобразился больше, чем за предшествующие двадцать веков; меняются основы науки и верований: головокружительные открытия современной физики и химии колеблют представления, на основе которых люди жили прежде, сдвигают ось мира и получат в истории человечества гораздо более глубокий резонанс, нежели ссоры политических партий и наций…" Ученые сами отчасти повинны в той сумятице умов, которую вызвали в обществе последние научные открытия. Не они ли совсем недавно весьма категорично объявляли законы Ньютона истиной в последней инстанции? Теперь, когда стала очевидной иллюзорность этого убеждения, можно ли винить широкие массы непосвященных за то, что у них случилось некоторое головокружение, создавшее благодатную почву для процветания всякого рода идеалистических доктрин? Люди настолько привыкли к устоявшимся представлениям, что любое изменение воспринимали как катастрофу. Ведь у науки не было еще опыта таких крутых переломов и таких радикальных сдвигов. Сколь проницательными выглядели тогда утверждения Бутру о том, что "законы природы не абсолютны, что их основа заключается в причинах, господствующих над ними, и что поэтому рассудочная точка зрения не может быть окончательной точкой зрения в познании вещей".

Пуанкаре был в прекрасных отношениях с семьей своей сестры, часто бывал в их доме. Особую симпатию испытывал он к своему племяннику, Пьеру Бутру, одаренному математику, который своими работами по теории функций и дифференциальным уравнениям продемонстрировал глубину мысли и оригинальность методов. Но это не домешало ему публично выступить против философских взглядов Эмиля Бутру. Наиболее развернутая и последовательная критика была дана им в докладе на IV Международном конгрессе по философии, состоявшемся в Болонье в 1911 году. Э. Бутру тоже был участником конгресса и, сидя в зале среди своих многочисленных коллег, внимал далеко не приятным для себя словам наиболее авторитетного представителя точных наук. В том же году доклад Пуанкаре был опубликован под названием "Эволюция законов". Отстаивая законы науки от систематических нападок философа-идеалиста, Пуанкаре в то же время впервые ставит вопрос о возможности изменения этих законов со временем. Решая вопрос в духе своего конвенционалистского подхода, он считает, что законы науки удобнее считать неизменными. Признав изменчивость законов, ученые вынуждены будут преодолевать новые затруднения — искать законы, согласно которым изменяются, эволюционируют сами законы.

В эти годы Пуанкаре часто выступает на международных конгрессах и много разъезжает. Видимо, от отца он унаследовал страсть к путешествиям. Вспоминал ли Анри свое былое увлечение географией в начальных классах лицея, когда наблюдал природу различных уголков Европы и Америки? "Если бы природа не была прекрасной, она не стоила бы того, чтобы быть познанной, жизнь не стоила бы того, чтобы быть прожитой", — скажет он однажды. Пуанкаре побывал практически во всех странах Европы и, по крайней мере, дважды был в Соединенных Штатах. В каждой стране он хотел видеть наиболее характерные и примечательные места, не испытывая желания удаляться от традиционных маршрутов.

В апреле 1908 года Пуанкаре прибыл в Рим на IV Международный математический конгресс. Автор доклада "Будущее математики" предстал перед участниками конгресса, математиками всего мира, не замкнувшимся в своем творчестве кабинетным ученым, отгородившимся научными проблемами от всего мира. Судьбы науки, по его мнению, неотделимы от судеб всего человечества. Но читает доклад не сам автор, а другой представитель французской делегации — Гастон Дарбу. Пуанкаре неожиданно почувствовал себя плохо и оказался в больнице. Диагноз врачей встревожил его друзей и коллег — гипертрофия предстательной железы. Но благодаря искусству итальянских хирургов опасность была предотвращена. Мадам Пуанкаре вынуждена была срочно приехать в Рим и с большими предосторожностями, короткими переездами перевозить его в Париж. Через некоторое время обеспокоенные родственники и близкие с удовлетворением отмечали, что Анри с прежней активностью и производительностью возобновил свои научные труды.