Ляпунов тяготел к другому полюсу научного творчества. Все его работы были безупречны в отношении точности математических рассуждений, ясности и строгости доказательств. Возражая против подхода, применяемого в работах Пуанкаре, он пишет, что "если иной раз и возможно пользоваться неясными рассмотрениями, когда желают установить новый принцип, который логически не вытекает из того, что было уже принято, и который по своей природе не может быть в противоречии с другими принципами науки, однако непозволительно это делать, когда должны решать определенную задачу (из механики или физики), которая поставлена совершенно точно с точки зрения математической. Эта задача делается тогда проблемой математического анализа и должна решаться как таковая". По мнению Ляпунова, задача о \ фигурах равновесия вращающейся жидкости, будучи по- ставлена как предмет математического исследования, должна решаться с той же строгостью, что и все остальные задачи математики. Но в продолжение последующих пятнадцати лет он не занимается этой проблемой, увлеченный другими делами. Лишь после избрания его в 1901 году в Академию наук, получив необходимый для этого досуг, Ляпунов возвращается к задаче Чебышева и через несколько лет получает полное и точное ее решение.

Ранние работы Ляпунова были почти неизвестны в Европе, за исключением узкого круга французских математиков. Только в 1904 году была полностью переведена на французский язык его магистерская диссертация. Неудивительно, что исследования Пуанкаре по фигурам равновесия вращающейся жидкости долгое время оставались в глазах механиков и астрономов самым последним и самым авторитетным словом в решении этой вековой проблемы.

Известность и авторитет Пуанкаре в европейских научных кругах приводят к тому, что зарубежные математики, в немалом числе посещающие в это время Париж, стремятся непременно войти с ним в контакт. Но сам Пуанкаре чувствует себя весьма неуютно в роли одной из столичных знаменитостей. Он не из тех людей, кто легко и непринужденно вступает в новые знакомства, и каждый новый визит вызывает у него чувство неловкости и скованности, с которыми он не в силах совладать. Именно таким увидел его немецкий математик Д. Гильберт, который сообщал в письме Ф. Клейну: "Он производит впечатление очень молодого и несколько нервного человека. Даже после нашего знакомства он не кажется очень дружелюбным: я думаю, что это объясняется его явной застенчивостью, которую мы не смогли преодолеть из-за отсутствия у нас лингвистических способностей".

С апреля месяца находясь в Париже, Гильберт прилагает немало усилий, чтобы поближе познакомиться с Пуанкаре. Это Феликс Клейн посоветовал своему молодому, но, несомненно, одаренному коллеге посетить французскую столицу, считая, что такая поездка окажет на него весьма благотворное и стимулирующее влияние, "особенно если удастся найти хороший подход к Пуанкаре". И вот в 1886 году Гильберт в компании с другим немецким математиком совершает научное паломничество, которое некогда осуществил сам Клейн. Французские математики встретили их с большой теплотой. Шарль Эрмит, демонстрируя свое редкостное доброжелательство, о котором они уже были наслышаны, не замедлил нанести им ответный визит. С Гильбертом он по собственной инициативе провел даже целое утро, свободное от лекционных занятий. Камилл Жордан устроил в честь зарубежных коллег обед, на котором присутствовали также Дарбу, Альфан и Маннгейм. В Сорбонне Гильберт посетил лекции Пикара, а также прослушал курс по теории потенциала и гидромеханике, читавшийся Пуанкаре. После этого он был представлен самому профессору, который был старше его лишь на шесть лет. Еще раз он встретился с ним, когда присутствовал на заседании Французского математического общества. Пуанкаре в этом году был избран его президентом. Но, видимо, сближение между ними шло не так быстро, как хотелось бы Гильберту, потому что в письме Клейну он жалуется, что Пуанкаре все еще не нанес им ответного визита.

Упреки в необщительности и недоверчивости не раз сказывались в адрес Пуанкаре. Действительно, он не очень легко сходился с малознакомыми ему людьми, решительно отклоняя какие бы то ни было попытки к душеизлиянию, претендующие на ответную откровенность с его стороны. Враг суетного пустословия и никчемной светской болтовни, Анри очень неохотно позволял посторонним угадывать скрытые движения своей души, оберегая свой внутренний мир от нескромных, назойливых взглядов. Это и создавало ему репутацию замкнутого человека. "…Относительно Пуанкаре я могу сказать все то же, — пишет Гильберт Клейну в другой раз. — Он кажется скрытным из-за застенчивости, которую можно будет преодолеть, если умело подойти к нему". Аппель, несомненно лучше знавший Пуанкаре, объясняет его сдержанность по отношению к недавним знакомым другой, более глубокой причиной: нежеланием в какой-то степени связать себя теми негласными обязательствами, которые поневоле налагает каждое новое тесное знакомство. Стремясь ограничить круг своих друзей и близких, который тем не менее был не так уж мал, он как бы инстинктивно оберегал свою внутреннюю свободу и духовную независимость, внешней скованностью окупал полную внутреннюю раскрепощенность. Только среди тех, с кем Анри долгое время поддерживал дружеские или приятельские отношения, он сразу становился самим собой, обретал свою привычную веселость и остроумие, свою непринужденность и уверенность в обращении. Друзья Пуанкаре единодушны в своих отзывах о нем: неизменно чистосердечен и прост, предан и доброжелателен.

Следует также сказать о замкнутом характере творчества Пуанкаре, который тоже не способствовал его сближению с молодым немецким коллегой. Гильберт, конечно, привык к тому свободному научному общению, которое принято у математиков за Рейном. Каждая математическая школа здесь являла некое подобие научной семьи, любой член которой открыто обсуждал в беседах, на семинарах или просто в кулуарах все перипетии своей текущей работы. Пуанкаре, наоборот, чуждался всяких шумных обсуждений и дискуссий, не признавал кружкового характера научной деятельности. Он предпочитал хранить про себя еще не вызревшие идеи, но не из-за эгоистической потребности в одиночестве. Просто он убежден, что словесный обмен мнениями вовсе не благоприятствует его свершениям. Творчество для него всегда было сугубо интимным процессом, противостоянием двоих — исследователя и упорно сопротивляющейся ему тайны. Феноменально развитая интуиция ведет Пуанкаре непосредственно к открытию, и между его разумом и истиной нет места каким бы то ни было посредникам или свидетелям. Безусловно, такое добровольное творческое отчуждение не соответствовало сложившемуся у Гильберта представлению о научных контактах между учеными.

Два этих года — 1886-й и 1887-й — внесли немалые изменения в жизнь Пуанкаре. С осени 86-го года он возглавил кафедру математической физики и теории вероятностей Парижского университета, став профессором Сорбонны одновременно с Э. Пикаром. А в январе следующего года его избрали членом Академии наук, входившей в Институт Франции.

В отличие от множества различных правительственных и частных учреждений, тоже носящих названия институтов, под наименованием "Институт Франции" понималось объединение из пяти самостоятельных академий, связанных одним уставом и общей целью. Как и Политехническая школа, организация эта была основана в годы Великой французской революции. В 1793 году Конституционным собранием были упразднены старые академии, образованные при королевском режиме, а взамен их два года спустя был учрежден Институт Франции с целью "собирать открытия, совершенствовать искусства и науки". Структура Института не один раз претерпевала изменения. Во времена Реставрации входящим в его состав академиям были присвоены старые, упраздненные названия, а в 1832 году число академий было увеличено с четырех до пяти. Таким образом, во второй половине XIX века Институт Франции имел следующий состав: Французская академия, главная цель которой заключалась в сохранении правильности и чистоты французского языка; Академия наук; Академия надписей и изящной словесности, предназначенная для развития истории, археологии и языкознания; Академия изящных искусств, включавшая в себя живопись, скульптуру, архитектуру и музыку; Академия моральных и политических наук, к которой относили философию, политическую экономию, правоведение, законодательство и другие подобные науки.