Академия наук (старое название — Парижская академия) была разделена на одиннадцать секций: геометрия, механика, астрономия, география и навигация, общая физика — по разряду математических наук; химия, минералогия, ботаника, агрономия, анатомия и зоология, медицина и хирургия — по разряду физических наук. Каждый из двух разрядов имел своего непременного секретаря, а председателем избирались поочередно представители от обоих разрядов. Число действительных членов Академии наук равнялось 68. Помимо них, было 10 почетных и 8 иностранных членов, а также 100 корреспондентов. Популярный в те годы французский поэт Сюлли-Прюдом[23] посвятил деятельности членов этой академии следующие возвышенные строфы:

Одни из тех мужей обняли властным взором

Громады дальних солнц в красе пустынной их.

Пастер открыл миры мельчайшие, которым

Нам меры не найти средь наших мер земных.

Следя в природе цепь изменчивых явлений,

Их ум определял законы изменений.

Науки свет они старались засветить

Над темною толпой в труде ее бессменном,

Пытаясь вечное с текущим согласить.

Выборы новых членов академии были знаменательным событием в академической жизни. Как только открывалось вакантное место, из числа академиков назначались особые комиссии, которые должны были представить не менее трех кандидатов с обоснованием их заслуг. Фамилии претендентов на звание действительного члена публиковались за неделю до выборов. Целый мирок парижского общества напряженно следил за всеми перипетиями этой кампании. Результаты голосования печатались в протоколах академии. Избрание неудачной кандидатуры нередко вызывало в обществе и печати недовольные толки и нарекания. Кандидаты, не получившие одобрения, оставались в списках и на каждых последующих выборах продвигались в порядке установленной очереди к окончательному представлению.

Пуанкаре числился в списках по секции геометрии с 1881 года, когда после смерти Мишеля Шаля в члены академии был избран Камилл Жордан. Блестящие работы молодого математика по теории фуксовых функций и их многообразным приложениям привлекли к нему внимание академической комиссии. Он был представлен одновременно с Аппелем и Пикаром и оказался вместе с ними на пятом месте. В 1884 году в академию прошел Гастон Дарбу, а неразлучная троица передвинулась на четвертое место. На следующий год последовало избрание Эдмона Лагерра, и вместе с Маштгеймом они разделили уже третье место. В этом же году скончался Жан Буке, знакомство с которым оказало столь благотворное влияние на становление Пуанкаре как математика. (Знаменитый математический дуэт распался еще в 1880 году, когда умер Шарль Брио.) Теперь Анри с щемящим чувством теплой благодарности вспоминал, какую неизменную отзывчивость встречали у знаменитого метра его первые самостоятельные шаги на научном поприще. На освободившееся место в 1886 году был избран Жорж Альфан; Аппель, Пикар и Пуанкаре были уже на втором месте в списках. Следующие выборы могли оказаться для кого-то из них решающими. Друзья становились невольными конкурентами, но им не пришлось оспаривать друг у друга голоса академиков.

Очередные выборы состоялись в самом начале 1887 года. Причиной тому была преждевременная смерть Лагерра, не пробывшего в числе академиков и двух лет. Можно усматривать глубокий смысл в том обстоятельстве, что Пуанкаре предоставлялась честь заступить место одного из своих бывших наставников в математике. Но еще более многозначительным выглядит тот факт, что в борьбе за высший ученый титул ему пришлось противостоять не кому иному, как Маннгейму. Судьба словно нарочно столкнула их в этом своеобразном поединке. Те из друзей Пуанкаре, кто был посвящен в историю его острого конфликта с полковником Маннгеймом в Политехнической школе, рассматривали наступившие выборы как продолжение той давней дуэли.

Тем сильнее волновало их ожидание скорой уже развязки, когда 24 января они сидели в зале заседаний академии среди публики, разместившейся на длинных скамьях вдоль стен. Лившийся сверху свет отбрасывал резкие тени на каменно-суровые лица великих французских писателей, весьма неодобрительно взиравших со своих пьедесталов на беспокойно шевелящуюся, поскрипывающую стульями толпу академиков. Тускло и буднично звучал голос непременного секретаря, зачитывавшего представления комиссий. Кандидатуру Пуанкаре сопровождала лаконичная, но весьма емкая характеристика, Что его научные работы "выше обычной похвалы". Вот поднялся председатель и, близоруко вглядываясь в глубину зала, объявил, что по установленному порядку голосование будет проходить при закрытых дверях. Посетители со сдержанным гулом высыпали в длинный, просторный холл, украшенный статуей Шатобриана. Кому же отдадут предпочтение маститые академики: пожилому профессору Политехнической школы или молодому профессору Сорбонны, учителю или его бывшему ученику, сравнявшемуся с ним своей ученостью? А может быть, даже превзошедшему его? Через неделю любой желающий мог ознакомиться с результатами голосования, прочитав протоколы Академии наук. Тридцатью одним голосом против двадцати четырех действительным членом был избран Анри Пуанкаре. Ему было тогда тридцать два года.

Короли и математика — это тема для особых размышлений. Почему коронованные особы порой проявляют такой пристальный интерес к этой науке? Быть может, дело в том, что, как сказал Александру Македонскому один древний философ, "в математике нет царских путей"? Во всяком случае, история знает немало примеров, когда эта область человеческого знания удостаивалась августейшего внимания.

В 1885 году шведский король Оскар II решил объявить международный конкурс на лучшее математическое исследование актуальной научной проблемы. Говорят, что с юношеских лет он увлекался математикой и в зрелом возрасте выражал свою приверженность к этой науке различными благотворительными мероприятиями. Организация конкурса была поручена редакции первого в Скандинавии математического журнала "Акта математика". Главный редактор журнала, молодой математик Г. Миттаг-Леффлер недолго колебался, выбирая кандидатов для небольшого по составу жюри. На одобрение королю были предложены имена двух крупнейших ученых — Карла Вейерштрасса и Шарля Эрмита, представителей двух ведущих в Европе математических школ — немецкой и французской. Вместе с Миттаг-Леффлером они составили небольшой, но авторитетный конкурсный совет. Присуждение премии было приурочено ко дню шестидесятилетия короля — 21 января 1889 года. В этот торжественный день победителю должны были вручить золотую медаль с изображением Оскара II стоимостью в тысячу франков и денежный приз в размере двух тысяч крон, то есть около 3000 франков.

Участникам конкурса предлагались на выбор четыре темы из числа наиболее актуальных математических проблем того времени. Первая тема резко отличалась — от трех остальных как по своей значимости, так и по сложности. Сейчас, с дистанции прошедших десятилетий, это особенно заметно. Предложил ее К. Вейерштрасс, и не случайно, как мы увидим впоследствии. Проблема была далеко не новая и исходила не из математики, а из небесной механики.

Решая уравнения движения двух притягивающихся друг к другу небесных тел, приходят к известному еще со времен Кеплера вращению по эллиптическим орбитам. Так движутся планеты вокруг Солнца. Задача двух тел, как принято ее называть, принадлежит к тому немногочисленному классу задач, дифференциальные уравнения которых поддаются точному решению. Тем не менее она неточно описывала движение реальных небесных тел. Сама постановка задачи была приближенной. Ведь, помимо солнечного притяжения, на каждую планету действует притяжение со стороны других небесных тел, и не всегда можно им пренебречь. Напротив, астрономы убедились, что без учета этих вторичных, не столь значительных сил воздействия им никак не обойтись. Наглядный пример — открытие планеты Нептун в 1846 году. Местонахождение этой неизвестной планеты было вычислено Леверье по тому возмущению, которое вызывала в движении Урана ее сила притяжения. Невозможно точно описать планетную орбиту, не включив в рассмотрение притяжение планеты не только к Солнцу, но и ко всем остальным планетам солнечной системы. Но стоило к двум притягивающимся телам присовокупить третье, как математическая сложность задачи неизмеримо возрастала. Дифференциальные уравнения задачи трех тел уже не допускали точного решения. Решение же задачи многих тел представлялось вообще весьма проблематичным.