Пуанкаре, но свидетельству его племянника Пьера Бутру, читал математические труды своим особым методом. Он не мог заставить себя терпеливо прослеживать длинную цепь выводов, определений и теорем. Мысль его сразу же устремлялась к главному результату, который представлялся ему центром всей проблемы. От него Пуанкаре двигался уже к периферии, быстрым, уверенным взглядом охватывая все утверждения, теоремы и выводы, которые окружали основную идею работы. Почти то же самое говорит Поль Аппель; у Пуанкаре был "гениальный дар интуитивного проникновения, в основную мысль каждого вопроса, откуда она происходит и место, которое она занимает в общей системе". Этим объясняются проворство и живость его мысли, не отстававшей от его поистине универсальной любознательности. Теперь своеобразным умственным возбудителем явилась для Пуанкаре статья Ковалевской, обратившая его внимание на давно уже волновавшую ученых загадку кольца Сатурна.

В свое время существовали три гипотезы относительно природы этого кольца. По одной из них оно предполагалось таким же твердым, как планетная твердь, по другой — оно считалось жидким, а по третьей — состоящим из роя частиц. Лаплас в начале XIX века доказал, что однородное твердое кольцо не может быть устойчивым: оно обязательно упало бы на поверхность планеты. Если же считать твердое кольцо неоднородным, то, по расчетам английского ученого Дж. Максвелла, проделанным в середине XIX века, выходило, что почти вся его масса должна быть сосредоточена в одном месте. Неоднородное твердое кольцо получалось уже не кольцом, а обычным спутником планеты. Исследуя равновесную форму жидкого кольца, Ковалевская уточнила результаты Лапласа и доказала, что поперечное сечение такого кольца представляет собой овал. Но жидкое кольцо оказывалось, по ее расчетам, тоже неустойчивым, то есть не могло существовать. Об этом же свидетельствовали выкладки Максвелла, который, исходя из данных астрономических наблюдений, показал, что плотность кольца, если только оно жидкое, не превышает одной трехсотой доли плотности самого Сатурна. Никакая жидкость не могла удовлетворять этому условию.

Продолжив исследования Ковалевской, Пуанкаре приходит к выводу, что жидкое кольцо может быть устойчивым, если плотность его ниже плотности вещества планеты не более чем в шесть раз. Так как это явно противоречило результатам Максвелла, то следовало окончательно отбросить уже скомпрометированную гипотезу жидкого кольца Сатурна. "Этот анализ, как кажется, подтверждает гипотезу Трувело, который считает, что кольца составлены из множества чрезвычайно мелких спутников, и не думает, что можно как-либо иначе объяснить некоторые наблюдаемые явления", — пишет Пуанкаре о результатах своей работы. Но главный итог его усилий заключается не в том, что он подвел черту под многолетними исследованиями кольца Сатурна. Рассмотрев устойчивость жидкого кольца, Пуанкаре обратился к общей задаче устойчивости вращающейся жидкой массы.

Впервые задача эта была рассмотрена еще Ньютоном в его знаменитых «Началах». Первооткрыватель закона всемирного тяготения заметил, что закон этот может объяснить не только движение небесных тел, но и их форму. По известной гипотезе, каждая планета первоначально находилась в жидком состоянии, причем настоящую свою форму она приобрела еще до отвердения. Поэтому небесные тела должны иметь одну из тех фигур, которые принимает вращающаяся вокруг оси жидкая масса, частицы которой взаимно притягиваются по закону Ньютона. Вопрос о формах равновесия вращающейся жидкости приобрел важное научное и мировоззренческое значение.

Исследования Ньютона показали, что под влиянием центробежных сил и сил притяжения вращающаяся жидкая масса должна принять форму шара, сжатого у полюсов. Такая фигура называется эллипсоидом вращения. В середине XVIII века шотландский ученый К. Маклорен математически доказал, что эллипсоид вращения действительно будет равновесной фигурой вращающегося жидкого тела. С тех пор эту фигуру равновесия стали называть эллипсоидом Маклорена.

Долгое время считали эллипсоиды вращения единственными фигурами равновесия вращающейся жидкости. Лишь почти сто лет спустя, в 1834 году, выдающийся немецкий механик и математик К. Якоби показал, что это не так. Вращающаяся жидкая масса необязательно должна принимать форму тела вращения, словно ее обрабатывают на гончарном круге. Фигурой равновесия может стать и трехосный эллипсоид, получающийся из шара, который сжимают не только у полюсов, но и по экваториалыюму диаметру. Вывод Якоби вызвал немалое удивление в научном мире. Он явно противоречил наглядным представлениям и физической интуиции. Делались даже попытки опровергнуть его доказательство. Но профессор Сорбонны Ж. Лиувилль, проведя полный математический анализ проблемы, подтвердил правильность этих результатов. В учении о формах равновесия вращающейся жидкости появился новый термин — эллипсоид Якоби.

После этих исчерпывающих, казалось бы, исследований задача снова была предана забвению на несколько десятков лет. Но в 1883 году вышло третье издание известной книги английских ученых В. Томсона и П. Тэта "Трактат о натуральной философии". Авторы ее пополнили коллекцию фигур равновесия вращающейся жидкости. Они показали, что при некоторых условиях эллипсоид Якоби, вытягиваясь, разделяется на два не связанных между собой тела. Эллипсоид перерождается в нечто совершенно отличное от всех прежних форм равновесия. Это были не только новые данные, но и новые проблемы. Сами авторы указывали на существенный пробел в своих изысканиях: ничего не было известно о промежуточных, переходных формах жидкости, предшествующих делению эллипсоида.

Желая восполнить недостающее звено в результатах Томсона и Тэта, Пуанкаре переключается с кольца Сатурна на новый объект. Но логика исследования увлекает его к более общей и фундаментальной задаче: проверить, не существуют ли наряду с эллипсоидами Маклорена и Якоби другие родственные им фигуры равновесия вращающейся жидкости. Он смело принимает эстафету, в течение полутора веков передававшуюся от одного поколения ученых к другому. Смело, поскольку после работ Лиувилля проблема считалась достаточно подробно рассмотренной и закрытой. Рассчитывать в этих условиях на открытие, подобное открытию Якоби, казалось многим неоправданным оптимизмом. К тому же математические трудности представлялись неодолимыми. Задача сводилась к весьма сложному нелинейному интегральному уравнению. Даже сейчас нет полной теории решения таких уравнений, а в конце XIX века не разработана была теория решения и более простых, линейных интегральных уравнений. Тем более удивительны те успехи, которых удалось достигнуть Пуанкаре.

Помимо эллипсоидов, он обнаружил новые фигуры равновесия, отличающиеся от эллипсоидальных. Среди них были даже грушевидные. Эти-то фигуры и позволили перекинуть мост от эллипсоидов Маклорена к двухмассовым равновесным формам, представленным Томсоном и Тэтом. Сам Пуанкаре иллюстрирует эту возможность следующим гипотетическим примером, непосредственно относящимся к астрономии. Вообразим расплавленную жидкую массу, вращающуюся вокруг оси и сжимающуюся при охлаждении. Вначале это будет эллипсоид вращения, очень близкий к сфере. По мере охлаждения сжатие возрастает, и фигура непрерывно меняется. Все более и более уплощаясь, она перерождается в эллипсоид Якоби с тремя неравными осями. При последующем охлаждении большая часть жидкости, стремясь принять шарообразную форму, будет скапливаться в одном месте большой оси эллипсоида, а меньшая часть, обособляясь, переместится к противоположному концу большой оси. Образуется новая фигура равновесия, имеющая вид груши. Так будет продолжаться до тех пор, пока фигура, все более и более сжимаясь в своей средней, самой узкой части, не распадется на два различных, неравных тела.

Свои исследования Пуанкаре опубликовал в серии заметок и статей и в обширном мемуаре, вышедшем в 1885 году в журнале "Акта математика". Новые неожиданные результаты по столь старой и, казалось бы, досконально изученной проблеме вызвали исключительный интерес. Особенно оживились астрономы, решившие применить эти результаты к решению своих задач. Они надеялись, что открытые Пуанкаре грушевидные фигуры равновесия помогут объяснить процессы образования двойных звезд. Некоторые из них думали, что двойные звезды типа беты Лиры представляют те самые переходные формы, которые рассмотрены в его работах. Но сам Пуанкаре понимал, что все рассуждения о фигурах равновесия применительно к небесным телам справедливы лишь в том случае, если эти фигуры устойчивы. Только тогда они могут сохраняться неограниченно долго. Между тем об их устойчивости и методах ее исследования в работах предшественников можно было найти весьма скудные сведения. Например, методы, разработанные Лапласом и Лиувиллем, годились только для некоторых частных случаев и в смысле точности оставляли желать много лучшего.