Чтобы охватить качественными методами сложные задачи небесной механики, нужно было научиться прослеживать ход кривых, представляющих решения дифференциальных уравнений, в многомерном пространстве, где отказывает пространственная интуиция и бесполезен привычный геометрический язык. Поэтому, прежде чем браться за такие качественные исследования, необходимо было сначала обзавестись соответствующим математическим аппаратом. "Метод, который дал бы нам возможность понять качественные соотношения в пространстве более чем трех измерений, оказал бы услуги, аналогичные тем, какие оказывают нам чертежи, — пишет по этому поводу Пуанкаре. — Таким методом может быть лишь Analysis situs более чем трех измерений. Однако эта ветвь науки до сих пор мало культивировалась. После Римана пришел Бетти, который ввел некоторые фундаментальные понятия, но за Бетти уже не последовал никто".

И вот внимание Пуанкаре уже приковано к Analysis situs. Это было в самый разгар его работы над третьим томом "Новых методов". Достраивая величественный храм небесной механики, великий зодчий науки одновременно закладывает фундамент новой грандиозной постройки. Никто еще не догадывается о том, какое необычное здание вознесется над этим основанием. Далеко не все математики знакомы с работами Бернгардта Римана, о которых упоминает Пуанкаре. К тому же в своей знаменитой лекции 1854 года и в одном посмертно опубликованном фрагменте выдающийся немецкий математик лишь указывает на основные отличительные черты новой математической дисциплины, которую он именует лейбницевским термином "Analysis situs", что означает дословно "анализ положения". После Бетти, который вслед за Риманом разработал некоторые первоначальные, понятия этой нарождающейся науки, наступило полное затишье, даже не период накопления отдельных результатов, а именно затишье. И лишь в последнем десятилетии XIX века французский математик взял на себя весь труд по возведению и укреплению стен нового строения.

"На вопрос, каково отношение Пуанкаре к топологии, можно ответить одним предложением — он ее создал", — заявляет крупнейший тополог нашего времени, советский математик П. С. Александров. Топология — так называют сейчас науку, которую Пуанкаре, следуя Риману, величал Analysis situs. По его собственному определению, этот раздел математики "описывает взаимные положения точек, линий и поверхностей безотносительно к их величине". Геометрией относительных положений, качественной геометрией видится будущая топология ее создателю. С первого мемуара Пуанкаре по этому вопросу начинается история топологии как самостоятельной математической науки. Во введения автор задается вопросом: нужно ли заменять язык аналитического исследования языком геометрии, если в многомерном пространстве последний утрачивает свои преимущества наглядности? Конечно, "не предпринимают дальнего путешествия, чтобы увидеть то, что можно найти у себя дома". Но в отстроенном и обжитом за долгие века «доме» классической математики, имевшей дело лишь с формулами и вычислениями, он не находит того, что ему нужно. И вот Пуанкаре отваживается на "дальнее путешествие", которое приводит его в удивительный, ни на что не похожий мир неколичественной математики, изучающей неизмеряемые и непросчитываемые сущности.

Не поддается количественному выражению запах, не измеряется числом внешний вид тела. Но топология нашла подходы к количественному изучению некоторых таких качественных понятий, как, например, формы различных тел. Прежде всего нужно классифицировать все тела по их конфигурациям, то есть условиться, какие фигуры считать топологически одинаковыми. Если, деформируя одну фигуру, можно перевести ее в другую без разрывов, разрезов и склеиваний, то обе фигуры считаются топологически неразличимыми. Взяв шарообразный ком сырой глины, можно совершить с ним на гончарном круге целый ряд превращений, которые ни один тополог не признает изменением формы. Приплюснув ком сверху ладонью, получим вместо шара эллипсоид. Затем продавим в середине вмятину и, постепенно углубляя и расширяя ее, сделаем глиняную чашу. Вытянув верхнюю часть чаши, преобразим ее в кувшин, у которого можно даже оттянуть спереди «носик». Для тополога все это будет одна и та же фигура. Вот если теперь оторвать кусочек глины и прилепить к кувшину ручку, мы получим совершенно новую топологическую фигуру. Ведь мы проделаем сразу две запретные операции — разорвем материал, а потом склеим его в другом месте.

Топология характеризует геометрические тела лишь такими свойствами, которые не меняются при любых преобразованиях, если только не совершаются разрывы и склеивания. Поэтому не относятся к топологическим свойствам ни линейные размеры тела, ни угловые. А вот: свойство фигуры состоять из одного цельного или из определенного числа разрозненных кусков является топологическим. Ведь, для того чтобы преобразовать, скажем, «восьмерку» в "два нуля" или наоборот, придется или разорвать фигуру, или же склеить ее несвязанные части. Число измерений фигуры тоже служит топологическим признаком. Без слипания сразу множества точек трехмерный куб не превратишь в двухмерный квадрат. Сфера и тор представляют собой примеры существенно различных топологических поверхностей. И есть топологическое свойство, их различающее: если на поверхности сферы, например мяча, изобразить произвольную замкнутую линию и сделать по ней разрез, то она обязательно распадется па две части. А на надувном спасательном круге можно произвести такой замкнутый разрез (хотя бы по "экватору"), что его тороидальная поверхность останется единым целым. Топологи тем и занимаются, что отыскивают характеристики геометрических образов, которые не меняются при разрешенных в топологии преобразованиях и называются поэтому топологическими инвариантами.

Успех топологических исследований во многом зависит от того, насколько удачными оказались найденные топологические инварианты. Как правило, стремятся к тому, чтобы такими инвариантами выступали числа иди другие хорошо знакомые математикам объекты, например группы. Тогда можно количественно изучать сугубо качественные свойства, используя уже готовый математический аппарат. Топологические инварианты как бы проецируют мир качественных сущностей на мир количественных величин. И у истоков этого чуда стоят исследования Пуанкаре. Введенные им топологические инварианты, наиболее глубокие и наиболее универсальные, до сих пор играют в топологии ведущую рель. В своем первом мемуаре по "Analysis situs" он дал понятие "фундаментальной группы". С его помощью топологические проблемы удается свести к чисто алгебраическим проблемам, которые решаются методами теории групп. Не менее фундаментальными оказались понятие гомологии и описанные в этом мемуаре числа Бетти.

Первая топологическая работа Пуанкаре была опубликована в "Журнале Политехнической школы", посвященном исполнившейся в 1894 году столетней годовщине этого прославленного учебного заведения. Наступило время юбилейных торжеств, связанных с великими установлениями свершившейся век назад французской революции. Одно из самых грандиозных празднеств состоялось в октябре 1895 года, когда Институт Франции отметил сто лет со дня своего основания.