Задумчиво перелистывая как-то математический журнал, Анри заинтересовался одной статьей. Немецкий математик Лазарь Фукс тоже работает над теорией дифференциальных уравнений и много преуспел в этой области. Анри не нужно повторно читать статью, он и так сумел схватить самую ее суть. Одна мысль автора захватила его воображение: построить функции, через которые выражаются решения дифференциальных уравнений, как выражаются решения алгебраических уравнений через абелевы трансцендентные функции. Анри словно заглянул в затянутый туманной дымкой, неясный, но внушающий надежду мир. Не попытаться ли расширить таким образом наличный состав математических функций, пополнить их новыми функциями, которые позволили бы наконец выразить искомые решения дифференциальных уравнений? Он тщательно анализирует выводы немецкого математика, проверяет его выкладки и доказательства, находит в них ряд сомнительных мест. Попутно у него рождаются собственные идеи и догадки, которые тоже требуют проверки.

Как раз в это время завершался срок подачи работ на конкурс «Гран-при» по математике, объявленный Академией наук. Тема конкурса была как нельзя более подходящей: усовершенствовать в некоторых пунктах теорию интегрирования линейных дифференциальных уравнений. Забыта тетрадь с неоконченным романом, который Анри дописывал первое время после переезда в Кан. Отныне он одержим только одной идеей, которой отдает все свои силы и время. Призрачный, туманный мир все больше проясняется перед его внутренним взором. Уже 28 мая Пуанкаре представляет на конкурс свой мемуар,[10] содержащий анализ и дальнейшее развитие идей, изложенных Л. Фуксом.

Большой приз по математике за 1880 год присудили Жоржу Альфану, работа Пуанкаре была для этого еще слишком незрелой и слишком поспешной. Ведь он только коснулся благодатного источника, породившего в нем могучий каскад идей. В его мемуаре лишь эскизно намечался тот грандиозный план, который столь блистательно был осуществлен им в последующие годы. Но оригинальность и плодотворность его идей не ускользнули от опытного, проницательного взора Шарля Эрмита. В своем докладе по работам, поданным на конкурс безымянными, он особо отметил исследование, девизом которого служило латинское изречение. Глава французской школы математиков призывал неизвестного автора неуклонно следовать по избранному им пути, который представлялся ему в высшей степени обнадеживающим. Это была работа Анри Пуанкаре.

Уже на следующий день после представления своей работы на конкурс, то есть 29 мая 1880 года, Пуанкаре пишет Лазарю Фуксу письмо. Завершив свой многодневный напряженный труд, он решает выяснить некоторые мучившие его сомнения и воздать должную дань восхищения автору статьи, оказавшей на него столь сильное влияние. Анри сообщает, что с большим интересом прочитал мемуар и просит разрешения задать ряд вопросов. Одновременно он высказывает свои соображения относительно выводов, сделанных в этом исследовании. «…Я должен признаться, монсеньор, что эти размышления вызвали у меня некоторые сомнения относительно общности результата, о котором вы сообщаете, и я решил вам об этом сказать в надежде, что вы не сочтете за труд их рассеять».

Сорокасемилетний гейдельбергский профессор, ученик знаменитого Вейерштрасса, читавший лекции в Берлинском университете, когда Пуанкаре еще ходил в младшие классы лицея, вовсе не помышляя о карьере математика, поначалу снисходительно отнесся к молодому и неизвестному французскому коллеге. Разрабатывая теорию линейных дифференциальных уравнений, Лазарь Фукс создал вместе со своими учениками целый цикл работ, которые составили новое мощное направление в математике прошлого века. Во многих европейских странах находились последователи этой известной научной школы. Вклад немецкого математика в теорию линейных дифференциальных уравнений был столь велик, что само имя Фукса воспринималось тогда как синоним этой теории. Между прочим, непосредственным толчком к занятиям дифференциальными уравнениями явилась для Фукса, как и для Пуанкаре, знаменитая монография Брио и Буке.

Письмо Анри не возмутило спокойствия главы гейдельбергских математиков. Он вежливо отвечает ему 5 июня на немецком языке: «Глубокоуважаемый коллега, примите прежде всего мою глубокую благодарность не только за тот интерес, который вы проявили к моей последней работе, но также и за то, что ваше письмо привлекло внимание к теореме в моей статье, сформулированной с недостаточной точностью…» Пуанкаре отвечает письмом от 12 июня, в котором он решается обратить внимание Фукса на некоторые неясности в его исследовании. Далее он пишет: «…Функции, которые вы определили, обладают весьма замечательными свойствами, и так как я намерен опубликовать полученные мною результаты, прошу вашего разрешения дать им имя фуксовых Функций, поскольку это вы их открыли. Я у вас прошу также разрешения показать ваше письмо мсье Эрмиту, который очень интересуется этим вопросом…»

Фукс отвечает вторым, на этот раз последним письмом, в котором сообщает, что в июле в печати появится его новая работа, делающая «излишней всю эту обширную дискуссию». Поспешив закрыть полемику, он не осознает еще всей серьезности ситуации, упорно отказывается признать обнаруженные у него грубые ошибки. Его больше волнует внимание со стороны Эрмита, чем придирки молодого коллеги: «Само собою разумеется, что вы можете показать мое послание Эрмиту. Интерес, который проявляет этот великий математик к моей работе, является для меня высшим удовлетворением…» Впрочем, Фукс не возражает против присвоения новым функциям его имени: «Вы имели доброту дать мое имя этим функциям, что является для меня большой честью и обязывает меня поблагодарить вас за это».

В двух своих следующих письмах Пуанкаре дает уже подробное описание самой функции, что показывает, насколько далеко продвинулся он в разработке этого вопроса. «…Фуксова функция имеет большую аналогию с эллиптическими функциями, — пишет Анри, — она существует лишь внутри определенной окружности и остается мероморфной внутри этой окружности. Она выражается на всей окружности частным двух сходящихся рядов». Термин «фуксова функция» здесь уже встречается неоднократно.

Работа Фукса послужила для Пуанкаре отправной точкой, но насколько смелее, дерзновеннее и изобретательнее оказался он в исконных владениях немецкого математика. За строчками прочитанной им статьи Анри увидел много больше того, что было написано, и, как оказалось впоследствии, много больше того, что представлял себе сам автор. Фукс лишь указал на возможность существования нового вида функций, оставалось доказать, что они действительно существуют, и сконструировать эти функции практически. По существу, надо было проделать полностью всю работу — приступить к разработке проблемы и закончить ее. Пуанкаре блестяще справился с этой задачей. Мысль Фукса упала на подготовленную почву, поэтому тут же развилась и стала плодоносить. Анри успел уже глубоко вдуматься в проблему интегрирования дифференциальных уравнений, когда статья Фукса указала ему направление приложения сил. Она сыграла роль железнодорожной стрелки, которую он проскочил настолько стремительно, что, если бы не его собственные признания, вряд ли кто-нибудь угадал бы в последующих результатах Пуанкаре какие-то отзвуки работ немецкого математика. Слишком далеко вперед ушел он в своих исследованиях.

К теории новых фуксовых функций Пуанкаре пришел на основе обобщения понятия эллиптических функций. Он сам свидетельствует об этом: «…путеводной нитью в моих поисках мне служила аналогия с эллиптическими функциями». Сами же эллиптические функции обобщают понятие простых периодических функций. Примером простейшей периодической функции является математическая запись колебаний маятника. Если заставить слабо раскачивающийся маятник чертить своим концом непрерывную линию на равномерно движущейся бумажной ленте, то он изобразит извилистую, волнообразную кривую, монотонное чередование гребней и впадин. Так представляются графически синус и косинус, хорошо известные периодические функции из разряда трансцендентных, определяющие зависимость величины отклонения маятника от времени.