Будучи хорошо знаком с задачей и с трудностями ее решения, Вейерштрасс весьма квалифицированно подошел к разбору результатов Пуанкаре, высказав ему ряд претензий. Он нашел изложение во многих местах трудным и недоработанным. Вполне основательный упрек, если вспомнить, что вся работа создавалась Анри за очень короткий срок, исключающий возможность тщательного редактирования. Некоторые из приведенных доказательств Вейерштрасс считал недостаточно строгими. Им было высказано пожелание, чтобы до опубликования мемуара Пуанкаре тщательно пересмотрел его и по возможности устранил указанные недостатки. Идя навстречу этим требованиям, Пуанкаре добавил к первоначальному тексту несколько дополнительных замечаний и исправил допущенную им в одном месте ошибку.

Претензии Вейерштрасса к Пуанкаре объясняются не только погрешностями представленной работы, но и различием стилей и методов, которых придерживались оба математика. "Вейерштрасс был, очевидно, натурой, склонной к тщательному творчеству, которое постепенно прокладывает себе дорогу к вершине, — отзывается о своем соотечественнике Ф. Клейн. — У него не было склонности распознавать с отдаления очертания еще не достигнутых высот…" В своих работах он продвигался вперед медленно, шаг за шагом, стремясь достичь исчерпывающей полноты обоснования каждого действия. Математическая теория, по его мнению, должна развиваться предельно строго, чисто логическим путем, не опираясь на наглядные представления. Запрещалось делать какие бы то ни было выводы из рассмотрения геометрических фигур. "Единства метода, последовательной разработки единого плана, соответственной разработки деталей" требовал он от математиков своей школы.

В этом с ним существенно расходится Пуанкаре. В своих исследованиях он не опирается на обоснованность и точность отдельных деталей. Ради главного он способен пренебречь малосущественными, с его точки зрения, частностями. Обоснованность и точность его доказательств лежат совсем в иной плоскости. Стремясь к прикладному результату, Пуанкаре допускает порой нестрогости, непростительные с точки зрения "чистого математика", свободно оперирует геометрическими, наглядными или попросту интуитивными соображениями.

Несмотря на столь явное несходство в методах и подходах к математическим проблемам, Вейерштрасс высоко оценил работу Пуанкаре. В письме от 15 ноября 1888 года он сообщает Миттаг-Леффлеру, что даже если бы эта работа содержала только приведенное в ней доказательство устойчивости в частном случае задачи трех тел, то и тогда она могла бы претендовать на премию ввиду важности этого результата. Но в ней содержится много больше. "Поэтому я без колебаний признаю эту работу достойной премии, — заканчивает Вейерштрасс. — …Рассматриваемую работу нельзя, правда, считать решением поставленной конкурсной проблемы, но эта работа настолько значительна, что с ее опубликованием, по моему убеждению, начнется новая эпоха в истории небесной механики".

Современники так и не увидели текста отзыва Вейерштрасса. В тринадцатом томе "Акта математика", включившем обе премированные работы, содержался лишь один отзыв — об исследовании Аппеля. Говорили, что Вейерштрассу в этот период его жизни уже трудно было писать, что постоянные болезни заставляли его раз за разом откладывать окончательное редактирование отзыва. Действительно, в письме к Софье Ковалевской немецкий математик ссылается на свое болезненное состояние: "Я обещал написать подробный реферат о премированной работе Пуанкаре, который должен был быть напечатан. Часть его уже давно находится у Миттаг-Леффлера. При продолжении этой работы я столкнулся с трудностями. У меня возникли сомнения в правильности и точности некоторых полученных Пуанкаре результатов. Затем я заболел и должен был временно совершенно отложить работу. Я надеялся внести ясность в это дело путем обсуждений с Фрагменом. К сожалению, я должен был от этого отказаться, и в настоящее время у меня нет никаких перспектив на то, чтобы я мог скоро направить свои мысли на научные вопросы. Кроме того, я уже снова все забыл, что наметил".

Но вряд ли дело только в болезни Вейерштрасса, только в том, что у него не хватило ни времени, ни сил, чтобы придать своему отзыву окончательный вид. "Что в таких условиях можно сделать? — продолжает он в том же письме. — Прошу тебя, поговори об этом с Миттаг-Леффлером. Я могу лишь сделать два предложения. Либо Миттаг-Леффлер доложит о действительном положении дел, обещая, что мой реферат, если его удастся закончить, будет напечатан в «Акта». Либо он даст напечатать мою предварительную аннотацию, которая была представлена королю. За написанное там я принимаю на себя ответственность. Однако нужно открыто признать, что восторженное обсуждение Эрмитом премированной работы Пуанкаре вызвало ожидания, которых эта работа в конечном счете не оправдывает. Достоинство исследований Пуанкаре состоит больше в их отрицательных,[24] а не в положительных результатах".

Даже если здоровье Вейерштрасса действительно не позволяло ему доработать уже наполовину написанный отзыв до желаемого вида, то, очевидно, существовали достаточно веские причины, побудившие его быть столь внимательным и требовательным к форме выражения своего мнения, как будто речь идет о документе чрезвычайной важности. И дело не в том, что им овладели какие-то сомнения в достоинствах работы Пуанкаре. Ведь он по-прежнему берет на себя полную ответственность за свою предварительную аннотацию, в которой дана чрезвычайно высокая и лестная оценка достижениям автора этой работы. Объяснение необычной сдержанности и осторожности маститого немецкого математика скорее всего нужно искать во внешних обстоятельствах, в общественной атмосфере того времени.

Франко-прусский антагонизм давал пищу для массовой вражды с обеих сторон. Отторжение Эльзаса и Лотарингии вырыло между двумя странами слишком глубокую пропасть. Идея реванша, жажда возмездия стали смыслом существования Третьей республики. "Думайте об этом всегда и не говорите никогда", — учил лидер республиканцев Леон Гамбетта. Память о недавнем национальном унижении создавала благодатную почву для произрастания ненависти, подозрительности и недоверия ко всему нефранцузскому. А тем временем Германия, объединенная усилиями "железного канцлера" Бисмарка, бряцает оружием, вынашивая планы новых захватнических авантюр. Весной 1887 года отношения между Францией и Германией резко обострились. В апреле немцы схватили на границе и насильно увели на германскую территорию французского пограничного чиновника Шнебеле. В воздухе запахло военным конфликтом. Взрыв яростного национализма охватил буквально все круги французского общества. Группа видных музыкальных деятелей из шовинистических соображений стремится не допустить на парижскую сцену оперу немецкого композитора Р. Вагнера «Лоэигрин». Военная тревога способствовала росту популярности генерала Буланже, прозванного "генерал Реванш". Спекулируя на ультрапатриотических настроениях, генерал рвется к власти. Францию охватила буланжистская лихорадка. В своих публичных выступлениях генерал любит повторять, что в будущей войне наступление — единственный вид боевых действий, отвечающий французскому духу. Нарастает опасность установления в стране военной диктатуры. Пик «буланжизма» приходится на январь 1889 года, когда генерал на выборах в парламент одержал победу над выставленным против него республиканским кандидатом.

Не менее ярко выраженные шовинистические настроения царили в немецком обществе, охватывая все слои населения. Яд недоверия и подозрительности к представителям других стран, прежде всего к французам, проник даже в научные круги Германии. Некоторые коллеги Вейерштрасса по Берлинскому университету и по Прусской академии наук исподволь выражали свое недовольство и раздражение его широкими международными связями и особенно его дружественными отношениями с французскими математиками. Известный шведский астроном Г. Гильден с шутливой иронией обронил как-то замечание о "лиге взаимного восхищения", в которую включил Вейерштрасса, Эрмита, Миттаг-Леффлера, Пуанкаре и Ковалевскую. Его шутка получила хождение в европейских научных кругах, но немецкие ученые порой вкладывали в нее далеко не тот доброжелательный смысл, который имел в виду автор.