Еще Л. Эйлером была высказана замечательная теорема о многогранниках: если к числу вершин любого многогранника прибавить число его граней и вычесть из этой суммы число ребер, то в итоге всегда будет получаться цифра два. Метод триангуляции позволяет обобщить теорему Эйлера на любую фигуру, даже на округлую, ведь нарисованные на ее поверхности треугольные ячейки можно считать гранями воображаемого многогранника. Расчеты по формуле Эйлера снова дадут цифру. Каждой внешней форме тела можно сопоставить, таким образом, число, топологический инвариант, значение которого определяется только видом поверхности. Для сферы и тора, например, эти числа различны. Пуанкаре обобщил теорему Эйлера на многомерные фигуры, то есть доказал формулу, связывающую число вершин, ребер и граней непредставимого воображением многогранника в многомерном пространстве. И в многомерной геометрии появился числовой топологический инвариант, предельно простой по смыслу и удобный в употреблении.

Современного читателя топологических работ Пуанкаре поражают удивительная завершенность, законченность, довольно-таки неожиданная для периода младенчества этой науки. Причем законченность не в смысле доскональности и совершенства математических доказательств, а в смысле точности и полноты введенных им понятий и методов. Изложенные в этих статьях идеи в течение всех последующих десятилетий питали топологию своей Живительной силой. Следуя за новаторской мыслью Пуанкаре, многочисленные исследователи развили в математике новое мощное и обширное направление, напоминающее ныне густо ветвящееся дерево. "Величайший представитель классической математики "взорвал изнутри" ее традиции и открыл доступ в нее не только новым методам исследования, но, что, может быть, еще важнее, и новым способам видеть вещи и интересоваться ими", — пишет академик П. С. Александров. Однако в конце XIX века и несколько позже рядом с ослепительным храмом небесной механики новоотстроенное здание никому не известной еще математической дисциплины выглядит совсем не впечатляюще. По сравнению с другими успехами Пуанкаре "Analysis situs" кажется его современникам несравненно более скромным достижением. Даже Эмиль Пикар, хорошо осведомленный о глубинных течениях творческой мысли своего друга, в обзорном докладе 1913 года о его математических работах ни словом не упоминает эти статьи. И только позже, с дистанции прошедших десятилетий, ученые смогли по достоинству оценить всю грандиозность топологических построений Пуанкаре.

Но топология — это всего лишь один из многих полюсов его тяготения в тот период. Научное творчество Пуанкаре движется сразу по нескольким руслам, в нем бьют сразу несколько обособленных потоков. Не исчерпывается оно даже таким громадным и многообразным трудом, как "Новые методы небесной механики". В многолетнюю работу над этим фундаментальным сочинением вторгаются другие научные интересы, никак не связанные с небесной механикой. Весьма занимает его ум, например, одна знаменитая математическая проблема, оказавшаяся довольно крепким орешком для крупнейших математиков. В свое время Лежен-Дирихле и Бернгардт Риман, основываясь на интуитивных соображениях, утверждали, что всегда существует решение краевой задачи для уравнения Лапласа, дифференциального уравнения с частными производными. Простые физические соображения внушали такую мысль, поскольку для соответствующих этой математической задаче реальных примеров непременно должен был наблюдаться какой-то результат. Это утверждение, облеченное в сложную математическую форму, легло в основу принципа Дирихле. Ученые свободно пользовались этим принципом в своих теоретических изысканиях, уверенные в его справедливости.

Так продолжалось до тех пор, пока К. Вейерштрасс, заинтересовавшийся этим вопросом, не подверг эту необоснованную уверенность сокрушительной математической критике. Его выводы повергли математиков в смятение. Весьма важный и широкоупотребительный принцип Дирихле сразу стал камнем преткновения. Строго доказать этот принцип никто не мог, а применять, как и раньше, не утруждая себя его обоснованием, казалось уже неправомерным. Не будь он столь важным и необходимым, от него давно бы отказались, столь велики были трудности, связанные с его доказательством. Но принцип Дирихле с успехом использовался в задачах гидродинамики, в теории упругости, в теории распространения тепла, в теории электричества, в теории ньютоновского притяжения и в других прикладных теориях. Время шло, а решение проблемы не приходило. Математики начали уже терять надежду на спасение столь ценного для них средства исследования. Карл Нейман сетовал на то, что принцип Дирихле, "такой красивый и имеющий такие важные приложения в будущем, навечно исчез из поля зрения".

Пуанкаре приступил к этой труднейшей проблеме в самый разгар своих небесномеханических увлечений. В 1890 году вышел в свет его мемуар, в котором он доказал существование функции, удовлетворяющей условиям задачи Дирихле, то есть доказал возможность ее решения. Добиться успеха помог ему весьма остроумный и оригинальный математический метод, названный автором методом выметания. Так впервые был обоснован принцип Дирихле для довольно широкого класса задач. "Одного этого исследования, независимо от всех других, было бы, на мой взгляд, достаточно, чтобы доставить автору почетную известность", — заявил видный советский математик, академик В. А. Стеклов.

В 1894 и 1896 годах появляются еще два больших мемуара Пуанкаре, посвященных решению дифференциальных уравнений с частными производными. В них автор решает задачи о распределении теплоты в твердом теле, о звуковых частотах, издаваемых вибрирующей мембраной. В них же он применяет расширенный им метод К. Неймана для решения задачи Дирихле. Эти исследования привели его к открытию новых функций, которые называются теперь фундаментальными функциями Пуанкаре.

В последнем десятилетии XIX века академик Пуанкаре демонстрирует наиболее щедрую отдачу идей, несмотря на завидное непостоянство интересов. Стремительными переходами от вопроса к вопросу, от проблемы к проблеме отмечен этот период его научной деятельности. Сегодняшние темы его научных работ непохожи на вчерашние и не имеют ничего общего с теми, что завладеют его умом завтра. Такие различные по характеру и содержанию, они накладываются друг на друга, совмещаясь во времени, конкурируют в его сознании и оспаривают друг у друга драгоценные часы его творчества.

Постоянная потребность видеть новое была отличительной чертой характера Пуанкаре. Для него гораздо важнее то, что будет, чем то, что есть. Поэтому он вечно в пути, вечно в погоне за убегающим горизонтом, за недостижимой во всей своей полноте и во всем своем многообразии научной истиной. Мысль его всегда нацелена вперед, в еще не наступивший день, как будто она стремится опередить саму себя, едва назревшие свои решения. Только что Пуанкаре исследовал периодические движения небесных тел, и вот уже внимание его приковано к доказательству теоремы Клаузиуса в термодинамике; не успев закончить обоснование принципа Дирихле, он уже публикует основополагающий труд по топологии. Головокружительная смена стилей и методов, тем и теорий вызывает в воображении образ всадника на горячем, нервном скакуне.

Некоторые из хорошо знавших Пуанкаре современников свидетельствовали, что когда он чувствовал интерес к проблеме, то включался в работу легко и непринужденно. Именно в такие минуты с наибольшей силой проявлялась его ставшая уже легендарной рассеянность. Зато с большим трудом сбрасывал он умственное напряжение, если решение задачи не было еще завершено. Во время вынужденных перерывов его творчество продолжалось подсознательно даже в часы отдыха. Поэтому Пуанкаре, страдавший бессонницей, избегал работать поздно вечером, после ужина. Если же тема не привлекала его, то он не мог чисто волевым усилием заставить себя трудиться над ней. Собственная незаинтересованность была для него самым непреодолимым препятствием в научной деятельности. Впрочем, интересы ученого были столь широки, что такое случалось нечасто.