Таким образом, мы убедились, что, опираясь на экономическую теорию, с помощью математики можно получить сведения об экономических величинах, не лежащих на поверхности экономических явлений, получить которые и, главное, доказать их истинность без применения математики было бы затруднительно.

Поскольку внедрение математики в политическую экономию позволяет устанавливать логические зависимости соотношений, некоторые из ее положений станут более общими. Возьмем, например, марксово положение о том, что цены производства на продукцию первого подразделения выше стоимости, а на продукцию второго – ниже. Это положение было строго доказано в «Капитале» лишь для того случая, когда применяемый капитал количественно равен потребляемому и исчислен в стоимости, а не в ценах производства. В действительности же применяемый капитал больше потребляемого и исчислен уже через цены производства, причем именно по отношению к исчисленной таким образом величине применяемого капитала справедливо положение: цены производства приносят равную прибыль на равный капитал. Однако учет этого реального факта потребовал бы, как кажется, знания тех цен производства, которые еще только должны быть выведены из условия: равная прибыль на равный капитал. Мы попадаем, следовательно, в «заколдованный круг», выйти из которого без использования математики было бы весьма непросто. Математика показала, что львиная доля «заколдованных кругов», обнаруженных экономистами, есть не более как выражение взаимозависимости переменных. Математика указала и способы решения задач, в которых переменные взаимозависимы. Одним из таких способов является составление уравнений и их систем. Математическим путем, не выходя за рамки аппарата школьной математики, нетрудно доказать и упомянутое выше марксово положение, приняв во внимание как тот реальный факт, что составляющие капитал факторы приобретались по ценам производства, а не по стоимости, так и то, что потребляемый капитал не тождествен применяемому и составляет только часть последнего. Предположения, сделанные в предыдущем примере, сохраняем.

Нужно доказать, что

. Приступим к доказательству этого неравенства.

Возьмем величину

, не превосходящую ни величины переменного капитала первого, ни величины переменного капитала второго подразделения, и выделим мысленно из подразделений части с переменным капиталом одинаковой величины . Эти части всегда можно взять такими, что отношения цен производства и стоимости продукции в них будут равны отношениям цен производства и стоимости всей продукции соответствующих подразделений. В качестве таких частей можно выделить, например, части, являющиеся по объему и номенклатуре продукции лишь пропорционально уменьшенными копиями подразделений. В силу различного строения капиталов первого и второго подразделений и равенства переменных капиталов выделенных частей соответствующие выделенным частям постоянные капиталы связаны неравенством .

Предполагаем одинаковой норму прибавочной стоимости в обоих подразделениях. Тогда равным переменным капиталам будут отвечать одинаковые по величине прибавочные стоимости

. Стоимость продукции, соответствующей первому из выделенных капиталов, равна , а стоимость продукции, соответствующей второму капиталу, – , где – доля потребленного капитала во всем применяемом, . Цены производства продукции, соответствующей выделенным капиталам, равны соответственно и . Мы воспользовались здесь тем, что коэффициенты и связывают между собой стоимости и цены производства. Но цена производства продукции может быть выражена как издержки производства плюс средняя прибыль. Учтя это и обозначив общую норму прибыли через , получим следующие два равенства:

В правых частях этих равенств издержки производства записаны в виде суммы цен производства израсходованных продуктов первого подразделения и цен производства продуктов второго подразделения, потребленных рабочими:

– прибыль на первый капитал; – прибыль на второй капитал.

Вычтя из первого равенства второе и приведя подобные, будем иметь:

Поскольку

, то и левая часть равенства тоже положительна, откуда , что и требовалось доказать.

По мере проникновения математики в политическую экономию, там, где речь будет идти о количествах, стиль рассуждений будет становиться более сжатым, четким, высказывания будут более емкими и часто будут заменяться математическими выражениями. Конечно, этот процесс связан с повышением уровня математического образования экономистов, и до тех пор, пока большинство экономистов не сможет понимать математический язык, не привыкнет к нему, не овладеет им, будет необходимо переводить на обычный язык добытые с помощью математики результаты.

Насколько короче и проще будут рассуждения, можно показать на следующем примере. Требуется, скажем, определить влияние изменения величины стоимости двух товаров – холста и сюртука на относительное выражение величины стоимости одного из них – холста.[168]

Пусть

– стоимость холста, – стоимость сюртука. Переменные и будут обозначать вступающие в обмен друг с другом количества холста и сюртука соответственно. Так как обмен производят по стоимости, должно быть , откуда