д) Если выбрать в системе ракеты положительное направление оси 𝑥' в направлении относительного движения лабораторной системы, то знак в уравнении (47) изменится на обратный, и это уравнение примет тот же вид, что уравнение (46).
е) Чтобы произвести измерения в нескольких разных местах в системе отсчёта ракеты при 𝑡'=0 (т.е. одновременно в этой системе), необходимо воспользоваться несколькими часами-хронографами. Лучше было бы употребить выражение: «Пусть часы-хронографы на ракете будут расположены так, чтобы каждые из лабораторных часов были рядом с ними в начальный момент ракетного времени (𝑡'=0), и пусть они сфотографируют в этот момент циферблаты лабораторных часов. Тогда на этих фотографиях не все лабораторные часы будут показывать время 𝑡=0». ▲
12.Эвклидовы аналогии
Рис. 140.
а) и б) См. рис. 140. Аналогия проявляется, когда мы сравниваем координаты 𝑥 эвклидовой системы и лоренцевой системы, а также координаты 𝑦 эвклидовой системы и 𝑡 лоренцевой системы. При этом на рис. 140 расстояние 𝑥𝐴' меньше, чем расстояние 𝑥𝐴, что соответствует различию наблюдаемых длин одного и того же движущегося стержня в системах отсчёта ракеты и лаборатории. Подобным же образом, замедление хода часов аналогично различию между значениями координат 𝑦𝐴' и 𝑦𝐴 в двух эвклидовых системах. В эвклидовой геометрии инвариантом является длина стержня, получаемая из значений координат его концов в любой системе. В лоренцевой геометрии инвариант — это интервал между двумя событиями, получаемый из результатов наблюдений в любой инерциальной системе отсчёта.
Рис. 141.
в) См. рис. 141. Точки, для которых 𝑦'=0, не все имеют координату 𝑦=0. Подобным же образом, не все события, происшедшие при 𝑡'=0, будут иметь координату 𝑡=0. ▲
13. Лоренцево сокращение. II
Сосредоточим своё внимание на следующих двух событиях: прохождении концов метрового стержня через начало пространственных координат лабораторной системы. В системе отсчёта ракеты эти события разделены расстоянием минус один метр (минус потому, что лаборатория в системе отсчёта ракеты движется в отрицательном направлении оси 𝑥) и временем, равным (1 м)/(относительная скорость):
Δ
𝑥'
=-
1
м
.
Δ
𝑡'
=
1 м
β𝑟
.
В лабораторной системе оба события происходят в одном и том же месте, но разделены отрезком времени Δ𝑡 который по условию задачи следует положить равным 𝐿/(относительная скорость), где 𝐿 —«длина» метрового стержня, измеренная таким путём в лабораторной системе отсчёта. Подставляя эти величины в формулы преобразования Лоренца (16), выразим Δ𝑡 через относительную скорость:
Δ
𝑡
=
𝐿
β𝑟
=
β𝑟(-1 м)+(1 м)/β𝑟
√1-β𝑟²
.
Отсюда
𝐿
=
√
1-β
𝑟
²
м
,
что и соответствует лоренцеву сокращению, наблюдаемому в лабораторной системе [формула (38)]. ▲
14. Замедление хода часов. II
Согласно условию задачи, Δ𝑥'=0, а Δ𝑡'≠0. Расстояние между двумя событиями в лабораторной системе отсчёта можно вычислить по формуле преобразования Лоренца
Δ
𝑥
=
0
+
Δ
𝑡'
sh
θ
𝑟
.
От нас требуется «измерить» время, прошедшее между этими событиями в лабораторной системе, разделив полученное выше расстояние на скорость движения обеих систем друг относительно друга:
Δ
𝑡
=
Δ𝑥
β𝑟
=
Δ𝑥
th θ𝑟
=
Δ
𝑡'
ch
θ
𝑟
Это и есть формула, описывающая замедление хода часов (44). ▲
15. Формулы преобразования Лоренца со временем в секундах
Просто подставим в формулы (37) 𝑡=𝑡сек/𝑐 и β𝑟=𝑣𝑟/𝑐. Обратные преобразования [(36) или (16)] примут тогда вид
𝑥
=
𝑥'
ch
θ
𝑟
+
𝑐𝑡
сек
'
sh
θ
𝑟
𝑥'+𝑣𝑟 𝑡сек'
√1-(𝑣𝑟/𝑐)²
,
𝑡
сек
'
+
𝑣
𝑟
𝑥'
𝑡
сек
=
𝑥'
sh
θ
𝑟
+
𝑡
сек
'
ch
θ
𝑟
=
𝑐²
,
𝑐
√
1-(𝑣
𝑟
/𝑐)²
▲
16. Вывод формул преобразования Лоренца
Из первого предположения следует условие 𝑎+𝑏=𝑒+𝑓, из второго — условие 𝑏-𝑎=𝑒-𝑓, а третье предположение даёт β𝑟=𝑏/𝑓. В совокупности из полученных трёх условий найдём 𝑓/𝑎=1, 𝑏/𝑎=𝑒/𝑎=β𝑟. Подставляя эти значения коэффициентов в исходные формулы для 𝑥 и 𝑡, запишите условие инвариантности интервала. Отсюда следует 𝑎=(1-β𝑟²)⁻¹/². Полученные формулы преобразования совпадают с (16). ▲
17. Собственная длина и собственное время
а) Направьте ось 𝑥' вдоль линии, соединяющей рассматриваемые события в лабораторной системе отсчёта. Сделайте предположение, что существует такая система отсчёта ракеты, в которой оба события происходят одновременно. Тогда преобразование Лоренца даёт
Δ
𝑡'
=
0
=-
Δ
𝑥
sh
θ
𝑟
+
Δ
𝑡
ch
θ
𝑟
,
откуда
sh θ𝑟
ch θ𝑟
=
th
θ
𝑟
=
β
𝑟
=
Δ𝑡
Δ𝑥
<
1.
Так как отношение Δ𝑡/Δ𝑥 меньше единицы, относительная скорость наших систем также меньше единицы, что подтверждает правильность предположения о существовании данной системы отсчёта ракеты. Из факта инвариантности интервала следует
(
Δ
𝑥)²
-
(
Δ
𝑡)²
=
(
Δ
𝑥')²
-
0²
=
(
Δ
σ)²
,
так что расстояние между событиями в системе отсчёта ракеты равно собственному расстоянию между этими событиями.
б) Снова направьте ось 𝑥 вдоль линии, соединяющей рассматриваемые события в лабораторной системе отсчёта. Сделайте теперь предположение. что существует такая система отсчёта ракеты, в которой оба события происходят в одном и том же месте. Тогда
Δ
𝑥'
=
0
=
Δ
𝑥
ch
θ
𝑟
-
Δ
𝑡
sh
θ
𝑟
