Вакуумный насос выкачивает воздух из ящика, чтобы электроны могли свободно двигаться внутри него, не сталкиваясь с молекулами воздуха. Пусть испарившийся с внутренней части стенки ящика электрон первоначально обладает весьма малой скоростью (примем эту начальную скорость равной нулю). Положительно заряженная сетка притягивает этот электрон; он ускоряется в её направлении, проходит сквозь отверстие в ней, замедляется по мере удаления от неё, так как его тормозит притяжение сетки, на мгновение останавливается и снова летит к сетке. В результате он колеблется взад и вперёд между стенками ящика.

а) Насколько малым может быть сделан период колебаний электрона 𝑇 (время одного замкнутого колебательного движения туда и обратно между стенками)? Конструировавший эту установку инженер утверждает, что при соответствующем повороте ручки регулятора напряжения можно получить по желанию сколь угодно высокую частоту колебаний ν=1/𝑇 Прав ли он?

б) Когда напряжение достаточно мало, электрон остаётся нерелятивистским, и его движение можно описывать законами ньютоновской механики. Во сколько раз при этом увеличивается частота колебаний электрона при удвоении напряжения на сетке? (Обсуждение. Во сколько раз различается до и после удвоения напряжения ньютоновская кинетическая энергия электрона в соответствующих точках его траектории? Во сколько раз изменяется при этом его скорость?)

в) Как выглядит окончательная формула для частоты ν как функции напряжения в нерелятивистском случае?

г) Чему равна частота в крайнем улътрарелятивистском случае, когда электрон бо'льшую часть своего времени движется... (конец фразы не будем договаривать!)... ?

д) Начертите на одном и том же графике две зависимости частоты ν от напряжения на сетке 𝑉₀: 1) нерелятивистскую кривую из пункта (в), проведённую жирно там, где ей можно пользоваться с уверенностью, и пунктиром в других местах; 2) ультрарелятивистское значение из пункта (г). По этому графику количественно определите, при каком напряжении поведение электрона переходит из нерелятивистского в релятивистское. По возможности дайте простое объяснение того, как ваши выводы учитывают порядок величины (т.е. отбрасывают множители типа 2, π и т.д.). ▼

65**. Импульс без массы?

Рис. 105. Перенос массы, не сопровождаемый переносом частиц или излучения.

На рис. 105 изображён миниатюрный мотор, установленный на платформе и питаемый от аккумулятора, поставленного на него. С помощью ремённой передачи мотор приводит во вращение колёсико с лопатками, «гребущее» по воде. Устройство с гребным колёсиком смонтировано на той же платформе, что и мотор. Мощность мотора равна 𝑑𝐸/𝑑𝑡.

а) Какое количество массы переносится в секунду с одного конца платформы на другой от мотора к гребному колесу?

б) Масса переносится на расстояние 𝑥 со скоростью, найденной вами в пункте (а). Какой импульс связан с этим переносом массы? Так как этот импульс мал, применимы ньютоновские представления об импульсе.

в) Пусть платформа первоначально покоится и стоит на горизонтальной поверхности стола на колёсах, лишённых трения. Платформа начнёт двигаться! В каком направлении? Что произойдёт с этим движением, когда истощится заряд аккумулятора? Насколько продвинется платформа за это время?

г) Покажите, что наблюдатель на платформе наблюдал бы перенос энергии лишь ремённой передачей; наблюдатель на столе наблюдал бы перенос энергии отчасти ремённой передачей, а отчасти самой платформой; наблюдатель же, движущийся по ремённой передаче в одну сторону, наблюдал бы перенос энергии отчасти ремённой передачей (отрезком ремня, движущимся в сторону, противоположную ему), а отчасти платформой. Очевидно, что не всегда можно сделать заключение, удовлетворяющее всех наблюдателей, о путях, по которым энергия передаётся с одного места на другое, или о скорости, с которой эта энергия переносится! ▼

В. ФОТОНЫ

66. Частицы нулевой массы покоя

На чём основывается вывод важного соотношения 𝐸²-𝑝²=𝑚²? Получите из него соотношение между энергией и импульсом, справедливое для случая нулевой массы покоя (фотоны, гравитоны, нейтрино). Что можно заключить из этого соотношения относительно наклона мировой линии такой частицы (а следовательно, о её скорости)? Как зависят ваши результаты от равенства sh θ и ch θ друг другу в случае больших θ, если их рассматривать как предельный случай? Существует ли для частиц с нулевой массой покоя «сопутствующая система отсчёта» («система покоя»)? ▼

67. Эйнштейновский вывод принципа эквивалентности энергии и массы покоя — подробный пример

Рис. 106. Перенос массы излучением.

Задача. Исходя из того, что свет переносит энергию и оказывает давление на тела, показать, что его энергия эквивалентна массе, и тем самым, обобщая, доказать, что всякая энергия эквивалентна массе. Комментарий. Эквивалентность энергии и массы является настолько фундаментальным следствием теории, что Эйнштейн, получив это следствие собственно из теории относительности, сразу же продолжил свои рассуждения и нашёл альтернативный подход, приводящий к тому же выводу, но опирающийся на элементарную физику ¹). Он рассмотрел первоначально покоившийся закрытый ящик массы 𝑀 (рис. 106). Из его левой стенки вправо излучается направленный сгусток электромагнитной энергии, проходящий через весь ящик длины 𝐿 и поглощающийся в противоположном его конце. Это излучение переносит энергию 𝐸. Но оно несёт также импульс - это видно из следующих соображений. Излучение оказывает давление на левую стенку ящика, когда оно покидает её. В результате ящик испытывает толчок влево и приобретает импульс -𝑝. Но ведь импульс системы в целом первоначально был равен нулю, значит излучение несёт импульс 𝑝 противоположный импульсу, полученному ящиком. Как воспользоваться этими данными о переносе энергии и импульса излучением для нахождения массового эквивалента этого излучения? Эйнштейн получил ответ, исходя из того, что центр масс системы не двигался до того, как начался процесс переноса, и поэтому не мог начать двигаться во время его протекания. Но очевидно, что масса ящика передвинулась влево. Значит, излучение должно перемещать массу вправо. Это были общие идеи, которыми руководствовался Эйнштейн, детали же состояли в следующем.

¹) A. Einstein, Annalen der Physik, 20, 627 (1906).

Из теории относительности Эйнштейн знал, что импульс 𝑝 направленного пучка излучения равен его энергии 𝐸 (как 𝑝 так и 𝐸 измеряются в единицах массы; см. разд. 10). Однако, чтобы освободить рассуждения от всякого прямого использования принципа относительности, он получил соотношение 𝑝=𝐸 из следующих элементарных соображений. Давление, оказываемое на идеальный излучатель или поглотитель со стороны пучка, равно плотности энергии в этом пучке. Это известно как из теории электромагнитного излучения Максвелла, так и из непосредственных измерений давления, оказываемого светом на подвешенное в вакууме зеркальце. Такие измерения были впервые успешно произведены Е. Ф. Николсом и Дж. Ф. Халлом около 1901—1903 гг. ¹). В настоящее время эти эксперименты были настолько упрощены, а их чувствительность так повышена, что они могут производиться в учебной лаборатории ²).

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

Плотность энергии

излучениях

в единицах энергии,

содержащаяся

в единице объёма

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎜

⎜