β

_после

=

β

1+β

после встречи. Здесь β — обычная скорость объекта, выраженная в единицах скорости света (так как движение происходит по лучу зрения, достаточно ограничиться её абсолютной величиной), а β —«одновременно наблюдаемая» скорость. Попутно следует обосновать возможность находить расстояние до объекта по угловым размерам.

б) Требуется наглядно показать, рассматривая движение предмета с околосветовой скоростью (в обычном смысле), почему возникает асимметрия в «одновременно наблюдаемой» скорости между случаями до и после встречи. Нельзя ли в качестве объекта взять сам свет?

Решение.

Рис. 78а.

а) Так как «одновременно наблюдаемую» скорость предмета требуется выразить через обычную скорость β, предполагается, что мы знаем больше, чем наш наблюдатель, и стоим, так сказать, над ним. Поэтому мы можем изобразить рассматриваемую ситуацию на диаграмме пространства-времени (рис. 78а), где наблюдатель покоится,— его мировая линия совпадает с осью времени. Наблюдения проводятся регулярно, через каждые Δ𝑡 метров светового времени (таким образом, речь идёт не о периодически вспыхивающем объекте, как в упражнении 6, а о постоянно светящемся). Объект движется по лучу зрения (ось 𝑥), и наблюдатель видит лишь его поперечное сечение, а так как лоренцево сокращение происходит в направлении движения объекта, видимое сечение не зависит от скорости движения. Поэтому, зная абсолютный поперечник объекта, наблюдатель по его угловым размерам без труда определит расстояние: оно равно отношению линейных размеров объекта к его угловым размерам, выраженным в радианах. Чему же соответствует это расстояние на диаграмме пространства-времени? По методу определения оно должно совпадать с расстоянием от наблюдателя до другого такого же стандартного объекта, который покоился бы относительно наблюдателя и находился в том месте, где пролетал движущийся объект в момент, когда он излучил принятый при измерении углов свет. Поперечные сечения обоих объектов, очевидно, совпадают. Иначе говоря, мировые линии вспомогательного покоящегося объекта и основного движущегося объекта должны пересекаться в мировой точке испускания светового луча, по которому производилось измерение расстояния. Итак, искомое расстояние должно быть равно расстоянию до определённого таким образом вспомогательного объекта (ведь он всё время покоится!). Это расстояние по построению равно координате 𝑥 мировой точки испускания «измерительного» луча. Проведём вычисления отдельно для наблюдений до встречи с движущимся объектом и после этой встречи.

1) До встречи. Рассматривается левая ветвь светового конуса прошлого. Её уравнение на плоскости 𝑡, 𝑥 имеет вид

𝑡

=

𝑥

+

𝑛

Δ

𝑡

.

Здесь 𝑛=-1, -2, -3, … и уравнение описывает световой луч, проходящий через точку 𝑛Δ𝑡 на оси 𝑡. В свою очередь мировая линия движущегося объекта описывается уравнением

𝑡

=

𝑥

β

.

Исключая из этих двух уравнений 𝑡, найдём

𝑥

β

=

𝑥

+

𝑛

Δ

𝑡

.

Поскольку теперь 𝑥 полностью определяется выбором числа 𝑛 (обычная скорость β и периодичность наблюдений Δ𝑡 считаются уже заданными), естественно принять 𝑥=𝑥_𝑛. Тогда

𝑥

_𝑛

⎛

⎜

⎝

1

β

-

1

⎞

⎟

⎠

=

𝑛

Δ

𝑡

или

𝑥

_𝑛

=

β

1-β

Δ

𝑡𝑛

.

Отсюда

Δ

𝑥

=

𝑥

_𝑛+1

-

𝑥

_𝑛

=

β

1-β

Δ

𝑡

,

и искомая «одновременно наблюдаемая» скорость до встречи равна

β

_до

=

Δ𝑥

Δ𝑡

=

β

1-β

,

что и требовалось получить.

2) После встречи. В этом случае берётся правая ветвь светового конуса прошлого, уравнение которой записывается в виде

𝑡

=-

𝑥

+

𝑛

Δ

𝑡

,

Подставляя сюда 𝑡 из уравнения мировой линии стандартного объекта, получим

𝑥_𝑛

β

=-

𝑥

+

𝑛

Δ

𝑡

откуда

𝑥

_𝑛

=

β

1+β

Δ

𝑡𝑛

и

β

_после

=

Δ𝑥

Δ𝑡

=

β

1+β

,

т.е. искомая «одновременно наблюдаемая» скорость после встречи. Так как β<1, то очевидно, что β_после<β<β_до.

б) Исследуем поведение «одновременно наблюдаемых» скоростей при β→1:

β

_до

→∞

,

β

_после

→

1

2

.

Рис. 78б.

Рис. 78в.

На рис. 78б показано наблюдение объекта, движущегося практически со скоростью света. Мы видим, что свет приходит к наблюдателю вместе с объектом, т.е., с точки зрения одиночного наблюдателя, объект «мгновенно» пришёл из точки своего «рождения». При удалении объекта свет от него продолжает всё время поступать к наблюдателю, так как скорость распространения света не зависит от скорости движения его источника. При этом, конечно, мы не учитываем тонкостей, связанных с интенсивностью света, о которых говорилось в упражнении 22. Детализируя рис. 78б (см. рис. 78в), нетрудно получить непосредственно предельное значение «одновременно наблюдаемой» скорости после встречи. Вспомним, что эта скорость определяется как отношение изменения 𝑥-координаты точки излучения света объектом к соответствующему изменению 𝑡-координаты точки приёма этого света (момент измерения):

β

_после

=

𝑂𝑇

Δ𝑡

(см. обозначения на рис. 78в). Теперь Δ𝑡=𝑂𝑃=𝑃𝑈. Так как в пределе скорость объекта принимается равной скорости света (β=1), то

𝑂𝑅

=

β

Δ

𝑡

=

Δ

𝑡

;

отсюда и из подобия треугольников 𝑂𝑇𝑆, 𝑂𝑅𝑄, 𝑂𝑆𝑃 и 𝑂𝑄𝑈 следует

β

_после

=

𝑂𝑇

Δ𝑡

=

𝑂𝑇

𝑂𝑅

=

𝑂𝑆

𝑂𝑄

=

𝑂𝑃

𝑂𝑈

=

1

2

,

что уже было получено выше. Такой пример движения объекта с около-световой скоростью, как и всякий гротеск, делает очевидными специфические заключения: в данном случае это вывод о неодинаковом впечатлении наблюдателя о скорости приближающегося и удаляющегося объекта.

Казалось бы, в данном пределе наилучшим «объектом» был бы сам свет; это, однако, не так. Прежде всего, свет не может сам «светиться», т.е. улетающий от нас фотон в принципе не может (если он не рассеивается на некой среде) испускать фотоны в сторону или назад (см. упражнение 68), так что «одновременно наблюдаемой» скорости уходящего от нас света попросту не существует. Что же касается такой скорости приходящего к нам света, то она неинтересна, так как равна бесконечности для одиночного наблюдателя не по каким-либо физическим причинам, а по самому своему определению! Кроме того, свет нельзя назвать «стандартным объектом», так как для него нет такого понятия, как видимый поперечник, и поэтому бессмысленно определять «расстояние» до него с помощью угловых измерений.