Ж. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ

48. Геометрическое истолкование

Постройте геометрическое истолкование преобразования Лоренца по следующей схеме:

а) Покажите, что на лабораторной диаграмме пространства-времени мировая линия начала пространственной системы координат системы отсчёта ракеты изображается прямой 𝑡' на рис. 64. Это — геометрическое место всех событий, происходящих в начале пространственных координат системы отсчёта ракеты, т.е. это ось 𝑡' системы отсчёта ракеты. Покажите, что геометрическое место событий, происходящих в точке 𝑥'=1 м в системе отсчёта ракеты,— это прямая, параллельная оси 𝑡' на рис. 64; аналогичные заключения следуют о точках 𝑥'=2, 3, 4 и т.д. метров.

Рис. 64. Положение на диаграмме пространства-времени в лабораторной системе отсчёта оси времени системы отсчёта ракеты.

б) Покажите, что наклон оси 𝑡' по отношению к оси 𝑡 на рис. 64 определяется выражением

Число метров

пройденного пути

Число метров

прошедшего времени

=

β

_𝑟

=

th θ

_𝑟

.

Как меняется этот наклон β_𝑟 в следующих двух случаях:

1) когда ракета движется очень медленно;

2) когда ракета летит со скоростью, очень близкой к скорости света?

в) Сделаем теперь решающий шаг! Как провести в диаграмме пространства-времени лабораторной системы отсчёта ось 𝑥' ракеты? Принцип относительности утверждает, что измеряемое значение скорости света должно быть одинаково в обеих системах отсчёта. На рис. 65 пунктиром проведена мировая линия вспышки света. Покажите, что на основании принципа относительности ось 𝑥' системы отсчёта ракеты должна подниматься вправо с тем же наклоном, с каким ось 𝑡' системы отсчёта ракеты отклоняется вправо же. Покажите, что геометрические места событий, происходящих в моменты времени 𝑡'=1, 2, 3 и т.д. метров в системе отсчёта ракеты, являются прямыми, лежащими параллельно оси 𝑥'.

Рис.65. Положение на диаграмме пространства-времени в лабораторной системе отсчёта пространственной оси системы отсчёта ракеты.

Рис. 66. Градуирование пространственной и временной осей системы отсчёта ракеты.

г) Проградуируйте оси координат системы отсчёта ракеты! Проведите гиперболу 𝑡²-𝑥²=1 (рис. 66). В той точке, где эта гипербола пересекает ось 𝑡 лабораторной системы отсчёта (где 𝑥=0), мы имеем момент времени 𝑡=1. Однако интервал 𝑡²-𝑥² инвариантен, так что при этом мы получим также (𝑡')²-(𝑥')²=1 Следовательно, в точке пересечения гиперболой оси 𝑡' системы отсчёта ракеты (где 𝑥'=0) мы имеем момент времени 𝑡'=1. Из соображений симметрии и ввиду линейности уравнений преобразования отрезок оси 𝑡' от точки 𝑡'=0 до точки 𝑡'=1 можно использовать в качестве единицы масштаба, откладываемого как вдоль оси 𝑡', так и вдоль оси 𝑥'. Тем самым схема построения завершена. Реализуйте её!

д) Покажите, что если два события одновременны в лабораторной системе отсчёта, они будут лежать на прямой, параллельной оси 𝑥 лабораторной системы на диаграмме пространства-времени (рис. 67). Покажите, что, если два события одновременны в системе отсчёта ракеты, они будут лежать на прямой, параллельной оси 𝑥 системы ракеты на диаграмме пространства-времени. Поэтому два наблюдателя не обязательно считают одновременными одни и те же пары событий. Это и есть относительная синхронизация часов.

Рис. 67. Эффект замедления хода времени.

е) Используя линии одновременности на рис. 67, покажите, что для наблюдателя в системе отсчёта ракеты часы, расположенные в начале лабораторной системы пространственных координат, ещё не показывают 1 м времени, когда 𝑡'=1 м (т.е. лабораторные часы отстают). Вместе с тем для наблюдателя в лабораторной системе отсчёта часы, расположенные в начале лабораторной системы пространственных координат, уже показывают больше 1 м времени (т.е. отстают часы на ракете). Это и есть замедление хода времени.

Рис. 68. Метровый стержень, покоящийся в лабораторной системе отсчёта, подвергается лоренцеву сокращению при наблюдении из системы отсчёта ракеты.

ж) Пусть метровый стержень покоится в лабораторной системе отсчёта, причём одним концом упирается в начало её пространственных координат (рис. 68). Если измерять его длину в лабораторной системе отсчёта, то мы получим результат типа 𝑎𝑏 на рис. 68. Измеряя его длину в системе отсчёта ракеты (т.е. регистрируя положения его концов «в один и тот же момент времени»), мы получим результат типа 𝑑𝑒 на том же рисунке. Покажите, что эти результаты измерений дают наблюдаемый эффект лоренцева сокращения в системе отсчёта ракеты. Переходя к рис. 69, покажите, что метровый стержень, покоящийся в системе отсчёта ракеты и упирающийся одним концом в начало её пространственных координат, подвергается лоренцеву сокращению при наблюдении из лабораторной системы отсчёта.

Рис. 69. Метровый стержень, покоящийся в системе отсчёта ракеты, подвергается лоренцеву сокращению при наблюдении из лабораторной системы отсчёта.

з) Нарисуйте диаграммы пространства-времени, иллюстрирующие относительность одновременности, замедление хода времени и лоренцево сокращение длин для тех предельных случаев, когда скорость ракеты относительно лабораторной системы отсчёта очень мала или очень велика.

и) Вернёмся к рис. 22 (стр. 54), где на диаграмме пространства-времени описано движение частиц и световых вспышек в двух измерениях. Покажите, что «плоскость одновременности» системы отсчёта ракеты наклонена относительно «плоскости одновременности» лабораторной системы отсчёта. Разберитесь, какую роль играет этот наклон для факта относительности одновременности событий, происходящих в разных точках оси 𝑥 диаграммы пространства-времени лабораторной системы отсчёта и для факта относительности одновременности событий, происходящих в разных точках оси 𝑦 диаграммы пространства-времени лабораторной системы.

к) Рассмотрите системы отсчёта ракеты, движущейся в отрицательном направлении оси 𝑥 лабораторной системы отсчёта. Проверьте выводы из диаграммы на рис. 70, в частности обратный знак для эффекта относительной синхронизации часов, но один и тот же характер эффекта замедления хода времени (по сравнению со случаем ракеты, движущейся в положительном направлении оси 𝑥).

Рис. 70. Положение пространственной и временной осей системы отсчёта ракеты, движущейся в отрицательном направлении оси 𝑥 лабораторной системы отсчёта. ▼

49. Парадокс часов. II — подробный пример ¹)

¹) Е. Lowry, American Journal of Physics, 31, 59 (1963).

Вернувшись из своего 14-летнего путешествия, Пётр (см. упражнение 27) ещё достаточно, молод для того, чтобы взяться за изучение теории относительности. Но чем больше он ей занимается, тем сильнее запутывается. Поскольку как он, так и его брат Павел находились в относительном движении друг относительно друга, то оба должны наблюдать замедление хода часов друг друга. Будучи вложено в уста Павла, это простое утверждение позволяет без труда понять, почему часы Петра, как и процесс старения организма Петра, шли замедленно, так что Пётр оказался моложе своего брата-близнеца после возвращения. Но ведь если это утверждение справедливо,— рассуждает Пётр,— то почему не я, когда я провожу исследование, обнаруживаю, что часы Павла идут замедленно? Как же это он смог постареть сильнее, чем я? Вопрос: как разрешить затруднения Петра?